Probleminha da Fuvest

por **Kelvin Brayan** » Qui Mar 10, 2011 12:18

1.(FUVEST-SP) Dados dois números reais a e b que satisfazem as igualdades 1<a<2 e 3<b<5, pode-se afirmar que

A) $\frac{a}{b} < \frac{2}{5}$

B) $\frac{a}{b} > \frac{2}{3}$

C) $\frac{1}{5} < \frac{a}{b} < \frac{2}{3}$

D) $\frac{1}{5} < \frac{a}{b} < \frac{1}{2}$

E) $\frac{3}{2} < \frac{a}{b} < 5$

por **Elcioschin** » Qui Mar 10, 2011 12:23

a > 1
b > 3

a/b > 1/3

a < 2
b < 5

a/b < 2/5 ----> Alternativa A

por **Kelvin Brayan** » Qui Mar 10, 2011 15:54

Valeu !

por **LuizAquino** » Qui Mar 10, 2011 18:19

O exercício foi da prova da (FUVEST-1999). O texto original da questão é:
(FUVEST-SP) Dados dois números reais a e b que satisfazem as desigualdades $1\leq a \leq 2$ e $3\leq b \leq 5$ , pode-se afirmar que:
A) $\frac{a}{b} \leq \frac{2}{5}$

B) $\frac{a}{b} \geq \frac{2}{3}$

C) $\frac{1}{5} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{2}{3}$

D) $\frac{1}{5} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{1}{2}$

E) $\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b} \leq 5$

O gabarito oficial é C). Tanto a prova quanto o gabarito estão disponíveis no endereço:
FUVEST Provas 1999
http://www.fuvest.br/vest1999/provas/provas.stm

Agora, vamos a resolução.

Nós vamos precisar de três propriedades das inequações:
(i) Se $a\leq b$ e c > 0

, então $ac \leq bc$ .
(ii) Se $0 < a \leq b$ , então $0 < \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ .
(iii) Se $a \leq b$ e $b \leq c$ , então $a \leq c$ .

Multiplicando-se a inequação $1\leq a \leq 2$ por $\frac{1}{b}$ (que é um número positivo), obtemos $\frac{1}{b} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{2}{b}$ .

Da inequação $3\leq b \leq 5$ , temos que $\frac{1}{5} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{3}$ .

Portanto, de $\frac{1}{5} \leq \frac{1}{b}$ e $\frac{1}{b} \leq \frac{a}{b}$ concluímos que $\frac{1}{5} \leq \frac{a}{b}$ .

Multiplicando-se a inequação $3\leq b \leq 5$ por $\frac{1}{a}$ (que é um número positivo), obtemos $\frac{3}{a} \leq \frac{b}{a} \leq \frac{5}{a}$ , ou ainda, $\frac{a}{5} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{a}{3}$ .

Multiplicando-se a inequação $1\leq a \leq 2$ por $\frac{1}{3}$ , temos que $\frac{1}{3} \leq \frac{a}{3} \leq \frac{2}{3}$ .

Portanto, de $\frac{a}{b} \leq \frac{a}{3}$ e $\frac{a}{3} \leq \frac{2}{3}$ concluímos que $\frac{a}{b} \leq \frac{2}{3}$ .

Desse modo, temos que $\frac{1}{5} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{2}{3}$ .

Observações

a > 1
b > 3
a/b > 1/3

Isso é falso! Note que se a=9/8 e b=9/2 nós temos que 1 < a < 2 e 3 < b < 5, mas a/b < 1/3.

a < 2
b < 5
a/b < 2/5

Isso também é falso! Note que se a=7/4 e b=7/2 nós temos que 1 < a < 2 e 3 < b < 5, mas a/b > 2/5.

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