Questão prova concurso com radicais

por **fernandocez** » Qui Mar 03, 2011 17:26

Caro amigos do Forum, essa eu pensei que ia matar fácil mas quebrei a cara.

36. Na igualdade $\frac{\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{7}-\sqrt[]{5}}$ = a + $\sqrt[]{b}$ , o valor de a² - b é:
Resposta: 1

Eu tentei assim:
$\frac{\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{7}-\sqrt[]{5}}$ . $\frac{\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{7}-\sqrt[]{5}}$ = $\frac{7+2\sqrt[]{5} \sqrt[]{7}+5}{7-2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}+5}$ = $\frac{12+2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}}{12-2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}}$

E ai não consegui desenvolver mais.

por **LuizAquino** » Qui Mar 03, 2011 17:32

Dica

Se o objetivo é racionalizar uma fração do tipo $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ , com a e b positivos, então você precisa fazer a operação $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{a - b}$ .

por **fernandocez** » Qui Mar 03, 2011 19:46

Valeu Luiz, eu racionalizei errado. Mas agora travei mas na frente se é que esse é o caminho.

$\frac{{\left(\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{\left(7-5 \right)}$ = a + $\sqrt[]{b}$ = $\frac{{\left(\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{\left2 \right}$ = a + $\sqrt[]{b}$ =
= ${\left(\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5} \right)}^{2}=2\left(a+\sqrt[]{b} \right)$ = $\left(\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5} \right) = \sqrt[]{2a+2\sqrt[]{b}}$

Daqui não consigo mais.

por **LuizAquino** » Qui Mar 03, 2011 23:53

Desenvolva a expressão $\frac{{\left(\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{\left(7-5 \right)}$ o máximo possível para encontrar um número que esteja no formato $a + \sqrt{b}$ .

Aqui vai outra dica: lembre-se do produto notável (x+y)^2=x^2+2xy+y^2

.

por **fernandocez** » Sex Mar 04, 2011 00:49

Obrigado Luiz, consegui fazer.

$\frac{{\left(\sqrt[]{7}\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{7-5}$ = $\frac{7+2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}+5}{2}$ = $\frac{12}{2}+\frac{2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}}{2}$ =

= $6+\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}$ = $a+\sqrt[]{b}$

a = 6 $\Leftrightarrow$ a² = 36

$\sqrt[]{b}$ = $\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}$ $\Leftrightarrow$ ${\left(\sqrt[]{b} \right)}^{2}={\left(\sqrt[]{5}\sqrt[]{7} \right)}^{2}$
${a}^{2}-b = 36-35=1$

por **LuizAquino** » Sex Mar 04, 2011 09:29

fernandocez escreveu:Obrigado Luiz, consegui fazer.

$\frac{{\left(\sqrt[]{7}\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{7-5} = \frac{7+2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}+5}{2} = \frac{12}{2}+\frac{2\sqrt[]{5}\sqrt[]{7}}{2} =$

$= 6+\sqrt[]{5}\sqrt[]{7} = a+\sqrt[]{b}$

$a = 6 \Leftrightarrow a^2 = 36$

$\sqrt[]{b} = \sqrt[]{5}\sqrt[]{7} \Leftrightarrow {\left(\sqrt[]{b} \right)}^{2}={\left(\sqrt[]{5}\sqrt[]{7} \right)}^{2}$

${a}^{2}-b = 36-35=1$

Apenas uma correção: onde há $\frac{{\left(\sqrt[]{7}\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{7-5}$ o correto é $\frac{{\left(\sqrt[]{7}+\sqrt[]{5} \right)}^{2}}{7-5}$