Aritmética Modular

por **Renato_RJ** » Dom Fev 20, 2011 19:05

Boa tarde amigos !!!

Hoje me deparei com uma questão de aritmética modular e não sei se a demonstração está errada, poderiam verificar por favor ? A questão é:

Prove que: $3^{10} = 1 (mod 11^2)$

Eu fiz assim:

3^5 = 1 (mod 11)

Me valendo da propriedade básica da aritmética modular, fiz o seguinte:

$3^5 = 1 + 11k \Rightarrow \, 3^5 \cdot 3^5 = (1 + 11k)^2 \Rightarrow \, 3^{10} = 1 + 11^2k^2 + 22k$

É aqui que não sei se está certo, pois quando desenvolvo o binômio chego no 11^2

mas aparece o 22k que acaba "atrapalhando" quando quero voltar para a definição de módulo... Alguém tem alguma ideia ou sugestão de método para a demonstração ?

Grato a todos,
Renato.

por **Renato_RJ** » Dom Fev 20, 2011 21:29

Luiz, Fantini, Molina, alguém ???

por **Molina** » Seg Fev 21, 2011 01:04

Boa noite, Renato.

Faz um bom tempo que não mexo com este assunto e confesso que não lembro da maior parte das propriedades.

Mas o 22k que "sobrou" não tem nenhuma relação com

$22k \equiv 0 (mod11)$

Se não tiver nada a ver peço desculpas mas se for o caso vou revisar o conteúdo.

Abraços.

por **Renato_RJ** » Seg Fev 21, 2011 10:47

Molina, muito obrigado pela atenção... Mas estou nesta mesma dúvida, se o que você escreveu estiver certo, aí a demonstração "sai fácil", como hoje irei a universidade para ajustar os detalhes do projeto que iniciarei este período, aproveito para pegar alguma dica com a professora de álgebra, aí posto a demonstração completa aqui..

Abraços,
Renato.

por **Renato_RJ** » Ter Fev 22, 2011 09:40

Molina, não consegui falar com a professora de álgebra, mas parece que resolvi o problema, veja:

$3^5 = 243 = 1 (mod 11^2) \Rightarrow \, 3^{10} = 1^2 (mod 11^2)$

Simples e rápido, e eu aqui "batendo cabeça"... rss...

Valeu pela ajuda :y: