Outra dúvida com integrais

por **john** » Ter Fev 15, 2011 15:14

Estava agora praticando o cálculo de áreas com integrais.
Gostava de saber como tirar os pontos necessários. Igualo as expressões?

Cumprimentos!

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 16:11

O gráfico do exercício está ilustrado abaixo.

: grafico.png (21.03 KiB) Exibido 15653 vezes

Para resolver esse exercício você vai precisar calcular a, b e c.

Note que a área procurada será:
$A = \int_a^b g(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

Note que para calcular a basta fazer g(a)=0. De onde obtemos a=-4.

Para calcular c basta fazer f(c)=0. De onde obtemos c=-2.

Por fim, para calcular b basta fazer f(b)=g(b). De onde obtemos b=-3.

Portanto, a área desejada será:
$A = \int_{-4}^{-3} 5x+20\,dx + \int_{-3}^{-2} x^2-4\,dx = \frac{29}{6}$

Observação
Para fazer gráficos como esse que coloquei aqui basta usar um programa como o GeoGebra. No meu canal no YouTube há um curso ensinando a usar esse programa:
http://www.youtube.com/LCMAquino

por **john** » Ter Fev 15, 2011 16:34

Obrigado pela ajuda e pela dica Luiz.
Vou tentar

por **john** » Ter Fev 15, 2011 17:43

Estive a tentar e fiquei só com uma dúvida. Existe uma ordem específica para os valores dos integrais?

Tipo não poderia ser assim?

$A = \int_c^b f(x)\,dx + \int_b^a g(x)\,dx$

Qual a ordem para a soma e para os número em cima e em baixo dos integrais (b/c) e (a/b)?

Cumprimentos!

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 19:12

john escreveu:Estive a tentar e fiquei só com uma dúvida. Existe uma ordem específica para os valores dos integrais?

Sim. Imagine que você está sobre o eixo horizontal andando da esquerda para a direita. Primeiro você irá passar por a e em seguida por b. Nesse trecho, o que está imediatamente acima de você é o gráfico de g(x). Portanto, o espaço abaixo do gráfico e acima do eixo horizontal tem área $A_1 = \int_{a}^{b} g(x)\,dx$ .

Continuando a andar, você irá de b até c. Nesse trecho, o que está imediatamente acima de você é o gráfico de f(x). Portanto, o espaço abaixo do gráfico e acima do eixo horizontal tem área $A_2 = \int_{b}^{c} f(x)\,dx$ .

Como eu quero a área total, basta calcular A = A_1+A_2

.

por **john** » Ter Fev 15, 2011 20:21

Sim já estou entendendo. De facto passamos primeiro por g(x) e só depois passamos por f(x).
Mas a parte dos valores não percebi. Porquê b em cima e a em baixo e c em cima e b em baixo? Não poderia ser assim?

$A = \int_b^a g(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Cumprimentos!

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 22:59

john escreveu:Mas a parte dos valores não percebi. Porquê b em cima e a em baixo e c em cima e b em baixo? Não poderia ser assim?

Por definição, a integral $\int_a^b f(x)\, dx$ significa que você está integrando a função f partindo de a e indo para b. Ou seja, o intervalo de integração começa no valor que fica abaixo do símbolo de integral (nesse caso a) e termina no valor que está acima do símbolo (nesse caso b).

Além disso, vale a regra:
$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$

por **john** » Ter Fev 15, 2011 23:12

Ok entendi. Vou praticar uns exercícios. Obrigado!

por **john** » Qua Fev 16, 2011 14:24

Resolvi este:
Imagem

Pode ver se está correcto?

a= 2x-9=x-4

b= 2x-9=0

c= x-4=0

$\int_{4}^{4,5} x-4 dx + \int_{4,5}^{5} 2x-9 dx$

$\int_{4}^{4,5} x dx - \int_{4}^{4,5} 4 dx + \int_{4,5}^{5} 2x dx - \int_{4,5}^{5} 9dx$

$\int_{4}^{4,5} (x^2/2) dx - \int_{4}^{4,5} 4x dx + 2 \int_{4,5}^{5} (x^2/2) dx - \int_{4,5}^{5} 9x dx$

Fazendo a substituição dá-me 16,13

por **LuizAquino** » Qua Fev 16, 2011 15:04

Primeiro, você deve notar que o sistema de eixos está "trocado". O que geralmente chamamos de x é agora y e o que geralmente chamamos de y agora é x. Arrumando a figura, ficamos com a ilustração abaixo.

: grafico-rotacionado.png (17.63 KiB) Exibido 15611 vezes

Estamos vendo x como a variável dependente e y como a variável independente.

A função representando a parábola é (basta isolar x na expressão dada):
f(y) = y^2 + 4

.

Já a função representando a reta é (basta isolar x na expressão dada):
$g(y) = \frac{y+9}{2}$ .

Agora, você precisar determinar as interseções entre a parábola e a reta, isto é, calcular as soluções da equação f(y)=g(y):
$y^2 + 4 = \frac{y+9}{2}$

Resolvendo essa equação, você obtemos y=1 e y=-1/2.

Portanto, a área procurada é dada pela integral:
$A = \int_{-\frac{1}{2}}^1 g(y) - f(y) \, dy$

Resolvendo essa integral, você irá encontrar A=9/16.

Esse é um típico exercício de Cálculo para testar se o aluno consegue trabalhar com diferentes sistemas de eixos.

por **john** » Qua Fev 16, 2011 15:18

Obrigado. Nunca tinha feito um exercício com rotação dos eixos.
Não percebi uma coisa.
$A = \int_{-\frac{1}{2}}^1 g(y) - f(y) \, dy$
No exercício anterior era a somar. Porque é que neste é a subtrair?

por **LuizAquino** » Qua Fev 16, 2011 16:15

john escreveu:No exercício anterior era a somar. Porque é que neste é a subtrair?

Observe as ilustrações abaixo.

Área abaixo da reta e acima do eixo horizontal no intervalo [-1/2, 1].

: abaixo-reta.png (5.07 KiB) Exibido 15599 vezes

Área abaixo da parábola e acima do eixo horizontal no intervalo [-1/2, 1].

: abaixo-parabola.png (5.04 KiB) Exibido 15599 vezes

Note que a área desejada é a subtração entre a área marcada na primeira figura e a marcada na segunda.

por **john** » Qua Fev 16, 2011 17:32

Ah ok. Entendi. Obrigado.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 00:18

Não entendi esta integral. Podem dar-me uma ajuda?

$\int\frac{e^3x-e^x}{e^x+1}dx$

Desenvolvi e fiz isto:

$\int\frac{e^x(e^2x-1)}{e^x+1}dx$

Obrigado!

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 00:42

Acredito que a integral desejada seja $\int\frac{e^{3x}-e^x}{e^x+1}dx$ . (Vou lembrar-lhe novamente: Cuidado com a notação!)

$\int\frac{e^x(e^{2x}-1)}{e^x+1}dx$

$\int\frac{e^x(e^x-1)(e^x+1)}{e^x+1}dx$

$\int e^x(e^x-1)dx$

Fazendo por substituição: $u = e^x-1 \Rightarrow du = e^x\,dx$ .
$\int u\, du = \frac{u^2}{2} + c$

$\int\frac{e^{3x}-e^x}{e^x+1}dx = \frac{(e^x-1)^2}{2} + c$

por **john** » Dom Fev 20, 2011 00:52

Sim Luiz, é essa. Você tem razão. Peço desculpa pelo erro.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 21:25

LuizAquino escreveu:Primeiro, você deve notar que o sistema de eixos está "trocado". O que geralmente chamamos de x é agora y e o que geralmente chamamos de y agora é x. Arrumando a figura, ficamos com a ilustração abaixo.
grafico-rotacionado.png

Estamos vendo x como a variável dependente e y como a variável independente.

A função representando a parábola é (basta isolar x na expressão dada):
.

Já a função representando a reta é (basta isolar x na expressão dada):
$g(y) = \frac{y+9}{2}$ .

Agora, você precisar determinar as interseções entre a parábola e a reta, isto é, calcular as soluções da equação f(y)=g(y):
$y^2 + 4 = \frac{y+9}{2}$

Resolvendo essa equação, você obtemos y=1 e y=-1/2.

Portanto, a área procurada é dada pela integral:
$A = \int_{-\frac{1}{2}}^1 g(y) - f(y) \, dy$

Resolvendo essa integral, você irá encontrar A=9/16.

Esse é um típico exercício de Cálculo para testar se o aluno consegue trabalhar com diferentes sistemas de eixos.

Fiz a integral e deu-me: $\frac{y^2}{2}+\frac{9y}{2}-\frac{y^2}{2}+4y$

Substituindo não me dá 9/6 :S

por **LuizAquino** » Seg Fev 21, 2011 09:36

john escreveu:

$g(y) = \frac{y+9}{2}$

$A = \int_{-\frac{1}{2}}^1 g(y) - f(y) \, dy$

Fiz a integral e deu-me: $\frac{y^2}{2}+\frac{9y}{2}-\frac{y^2}{2}+4y$

Substituindo não me dá 9/6 :s

O seu cálculo para a integral está errado. Lembre-se que $\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + c$ , com n diferente de -1.

por **john** » Seg Fev 21, 2011 11:47

Sinceramente não percebi onde errei. Pode-me ajudar? O n é diferente de -1.

por **LuizAquino** » Seg Fev 21, 2011 12:06

john escreveu:Sinceramente não percebi onde errei. Pode-me ajudar? O n é diferente de -1.

Vou lhe dar mais outra dica, apenas aplicando a dica anterior: $\int y^2\, dy = \frac{y^3}{3} + c$ .

E agora, está mais fácil perceber onde você errou?

por **john** » Seg Fev 21, 2011 12:54

Então fica:

$\frac{y^2}{2}+\frac{9y}{2}-\frac{y^3}{3}+4y$ ?

Mesmo assim fazendo a substituição não me dá. Dá-me 29/6.

por **LuizAquino** » Seg Fev 21, 2011 14:49

john escreveu:Então fica:

$\frac{y^2}{2}+\frac{9y}{2}-\frac{y^3}{3}+4y$ ?

Não.

Vou lhe dar mais outra dica:
$\int \frac{y+9}{2} - (y^2+4) \, dy = \frac{1}{2}\int y + 9 \, dy - \int y^2+4 \, dy$

Tente fazer agora.

por **john** » Ter Fev 22, 2011 14:13

Ok. Entendi. Obrigado!

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