Limites

por **john** » Sex Fev 11, 2011 22:56

Boa noite. Estou com dúvidas nos seguintes limites:

lim 2^(-x+1)
x->+infinito

lim $\sqrt[]{x+1}/ \sqrt[]{4x+2}$
x->+infinito

lim $\sqrt[]{x}/ \sqrt[]{x^2-1}$
x->infinito

lim 40/x-5
x->5-

lim ln(x-3)
x->3+

Alguém pode-me ajudar?

As raízes me fazem confusão. Não sei o que fazer com elas. Já tentei inverter a expressão, mas acho que estou fazendo errado. Nem com o l'hopital consegui.
E gostava também de perceber qual a diferença entre x->3+, x->3, e x->3-

Cumprimentos!

por **LuizAquino** » Sex Fev 11, 2011 23:57

$\lim_{x\to +\infty}2^{-x+1}$

Usando propriedades de potência:
$\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{2^x}$

Como o denominador tende para o infinito e o numerador é constante, temos que essa fração tende a zero. Isto é:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{2^x} = 0$

========

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{4x+2}}$

Dividindo o numerador e o denominador por $\sqrt{x}$ , nós temos que:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x+1} : \sqrt{x}}{\sqrt{4x+2} : \sqrt{x}}$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{(x+1):x}}{\sqrt{(4x+2):x}}$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{\sqrt{4 + \frac{2}{x}}}$

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{\sqrt{4 + 0}}$

$\frac{1}{2}$

========
$\lim_{x\to 5^{-}} \frac{40}{x-5}}$

Temos um limite onde o numerador é constante e o denominador tende para 0, portanto a fração irá tender para o infinito. Como x aproxima-se de 5 pela esquerda (o que é representado pelo sinal de - após o 5), então x terá valores bem próximos de 5, porém menores do que 5. Logo, o denominador será negativo. Como o numerador é positivo, então o resultado será $-\infty$ .

========
$\lim_{x\to 3^{+}} \ln(x-3)}$

Já que x aproxima-se de 3, temos que o logaritmando se aproxima de 0. Quando o logaritmando aproxima-se de zero, sabemos que o valor do logaritmo neperiano tende a $-\infty$ .

Nesse caso, note que x aproxima-se de 3 pela direita (o que é representado pelo sinal de + após o 3), o que significa que x terá valores bem próximos de 3, porém maiores do que 3. Isso é relevante nesse caso, pois se colocássemos um valor próximo de 3 porém menor do que ele, então o logaritmando daria um número negativo, o que contraria a definição de logaritmo.

========

john escreveu:E gostaria também de perceber qual a diferença entre x->3+, x->3, e x->3-

A notação $x\to a^+$ significa que x tem valores próximos de a, porém maiores do que ele. Por exemplo, se $x\to 3^+$ , então são possíveis valores de x: 3,01, 3,001, 3,0001, etc.

Por outro lado, a notação $x\to a^-$ significa que x tem valores próximos de a, porém menores do que ele. Por exemplo, se $x\to 3^-$ , então são possíveis valores de x: 2,99, 2,999, 2,9999, etc.

Por fim, a notação $x\to a$ significa que x tem valores próximos de a, tanto maiores ou menores do que ele. Por exemplo, se $x\to 3$ , então são possíveis valores de x: 2,99, 2,999, 2,9999, 3,01, 3,001, 3,0001, etc.

por **john** » Sáb Fev 12, 2011 12:11

Muito obrigado luiz.
Ainda assim, fiquei com algumas dúvidas:
Qual o porquê de se dividir numerador e denominador por raiz de x?
E no último limite não deveria ficar $\infty+$ ? Já que tende para 3 pela direita, não deveria ficar $\infty+$ ao invés de $\infty-$ ?
Outra dúvida qual a regra utilizada no 1.º limite?

Cumprimentos!

por **Molina** » Sáb Fev 12, 2011 13:01

Bom dia.

Se me permite tentar responder suas dúvidas, ai vão:

john escreveu:Qual o porquê de se dividir numerador e denominador por raiz de x?

Este é um dos macetes mais usados quando queremos saber o limite e este está dando uma indeterminação. Essa jogada no começo não é fácil de perceber, mas aos poucos você vai percebendo que quando tiver raiz envolvendo limites, NA MAIORIA DOS CASOS iremos fazer este truque para sair da indeterminação.

john escreveu:E no último limite não deveria ficar $\infty+$ ? Já que tende para 3 pela direita, não deveria ficar $\infty+$ ao invés de $\infty-$ ?Cumprimentos!

A função ln x é crescente, ou seja, quanto menor o valor de x, menor será o valor da função. Quando temos x tendendo a 0 (que é o menor valor que x pode assumir em ln x) a função tende a infinito negativo. Observando a imagem talvez fique mais fácil de visualizar isso:

Imagem

john escreveu:Outra dúvida qual a regra utilizada no 1.º limite?

Foi feito apenas um algebrismo utilizando uma das propriedades de potência:

$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$

Qualquer dúvida informe! :y:

por **LuizAquino** » Sáb Fev 12, 2011 13:16

Olá Pessoal,

Considero que o colega Molina já respondeu bem as suas dúvidas John.

por **john** » Dom Fev 13, 2011 12:42

Mais uma vez, muito obrigado. Quer ao Luiz, quer ao Molina.

por **john** » Dom Fev 13, 2011 14:03

Boa tarde. Ainda neste capítulo dos limites, surgiu-me outra dúvida.

Considere a função real de variável real definida por:

Não consegui inserir o sistema, portanto coloquei assim.

f(x)=

{ $\frac{e^x^3-1}{x^2}+m$ se x>0

{ $\frac{x^2-1}{2x-1}$ se $x \leq 0$

a) Determine o valor de m de modo que a função seja continua.

É fazer o limite para que valores? Não estou entendendo.

Mostre que, para o mesmo valor de m, $\exists c \in ]-3;\frac{-1}{2}[:f(c)=0$

Não faço ideia do que seja. :S

Obrigado pela atenção!

por **LuizAquino** » Dom Fev 13, 2011 17:55

$f(x) =\begin{cases} \frac{e^x^3-1}{x^2}+m \textrm{, se } x>0} \\ \frac{x^2-1}{2x-1} \textrm{, se } x \leq 0 \\ \end{cases}$

a) Determine o valor de m de modo que a função seja continua.

Sabemos que uma função contínua não possui "interrupções" ou "saltos" em seu gráfico.

Se x>0, o gráfico da função f será o mesmo que o gráfico de $g(x)=\frac{e^x^3-1}{x^2}+m$ , que é contínuo para x>0.

Por outro lado, se $x \leq 0$ , o gráfico da função f será o mesmo que o gráfico de $h(x)=\frac{x^2-1}{2x-1}$ , que é contínuo para $x \leq 0$ .

Basta agora analisar a continuidade em x=0.

Por definição, dizemos que uma função é contínua para x=a se acontece:
$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

Nesse caso, queremos que a função seja contínua em x=0, isto é, deve acontecer:
$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$

Primeiro, note que temos $f(0) = \frac{0^2-1}{2\cdot 0 -1} = 1$ .

Além disso, temos que a função é definida de forma distinta para x antes ou para x depois do zero. Portanto, o limite será alterado caso eu esteja analisando pela direita ou pela esquerda.

Pela direita
$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \left(\frac{e^x^3-1}{x^2}+m\right) = m + \lim_{x\to 0^+} \frac{e^x^3-1}{x^2}$

Esse limite é uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital:
$\lim_{x\to 0^+} f(x) = m + \lim_{x\to 0^+} \frac{3x^2e^x^3}{2x} = m + \lim_{x\to 0^+} \frac{3xe^x^3}{2} = m$

Pela esquerda
$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{x^2-1}{2x-1} = 1$

Agora, para atender a definição dada anteriormente, deve ocorrer:
$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0)$

Sendo assim, concluímos que m=1 para que a definição seja atendida.

john escreveu:Mostre que, para o mesmo valor de m, $\exists c \in\; ]-3;\frac{-1}{2}[ \; : f(c)=0$

Traduzindo isso: Considerando o valor de m calculado, mostre que a função possui uma raiz no intervalo ]-3; -1/2[.

O estranho nesse quesito é que esse intervalo é todo menor do que zero, o que implica que você deverá usar apenas a expressão $\frac{x^2-1}{2x-1}$ na definição da função, mas essa expressão não depende de m! Por favor, confira o texto da questão.

De qualquer modo, aproveito para lembrar-lhe que para resolver algo desse tipo você irá precisar do seguinte corolário (proveniente do Teorema do valor intermediário (ou de Bolzano)):

Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto ]a, b[ tal que f(c) = 0.

por **john** » Seg Fev 14, 2011 13:19

Olá Luiz. Mais uma vez obrigado por estar me ajudando.
O enunciado é este aqui:

http://img825.imageshack.us/img825/8457/semttulovs.png
Peço desculpa por algum erro.

por **LuizAquino** » Seg Fev 14, 2011 14:38

john escreveu:O enunciado é este aqui:

texto-questao.png (30.73 KiB) Exibido 16322 vezes

Considerando que esse é o texto, basta usar o corolário que citei na mensagem anterior. Nesse caso, você deve analisar o sinal de f(-3) e f(-1/2).

por **john** » Seg Fev 14, 2011 15:49

Sendo assim:

m=1
f(-3)=10/7
f(-1/2)=5/8

f(-1/2)<1<f(-3)

Então existe. Está correcto?

Desse mesmo exercício não estou conseguindo fazer a alínea b. É calcular o f(10) e o f(-10)?
O f(10) não consigo calcular. É no ramo de cima certo? Dá-me erro :s
O f(-10) é no ramo de baixo certo? Dá-me 101/21.

por **LuizAquino** » Seg Fev 14, 2011 22:29

m=1
f(-3)=10/7
f(-1/2)=5/8

f(-1/2)<1<f(-3)

Então existe. Está correcto?

A resolução está errada. O correto é: f(-3)=-8/7 e f(-1/2)=3/8. Como a função é contínua em [-3, -1/2] e f(-3) tem sinal contrário ao de f(-1/2), então existe uma raiz de f entre ]-3, -1/2[.

john escreveu:Desse mesmo exercício não estou conseguindo fazer a alínea b. É calcular o f(10) e o f(-10)?

Não. Você tem que justificar porque pode usar o Teorema de Bolzano no intervalo ]-10, 10[.

Primeiro você deve ser perguntar: Qual é o Teorema de Bolzano?
Bem, o Teorema de Bolzano é:

Se f é uma função real contínua definida em [a, b], então para todo d no intervalo [f(a), f(b)] existe um c no intervalo [a, b] tal que f(c)=d.

Agora, faça a seguinte pergunta: qual é a hipótese do Teorema de Bolzano?
Resposta: f é uma função real contínua definida em [a, b]

Portanto, para justificar que podemos usar o Teorema de Bolzano no intervalo ]-10, 10[ quando m=1, temos que provar que: f é uma função real contínua em [-10, 10] quando m=1.

Mas, pelo quesito (a) desse exercício, nós provamos que para m=1 a função é contínua em todo o seu domínio. Sendo assim, ela também será contínua em ]-10, 10[, que é uma parte de seu domínio. Logo, podemos usar o Teorema de Bolzano nesse intervalo.

john escreveu:O f(10) não consigo calcular. É no ramo de cima certo? Dá-me erro :s

Sim. Nós teremos que $f(10) = \frac{e^{1000} + 99}{100}$ . Você pode parar aqui. O máximo que você poderia fazer a partir daqui seria usar a aproximação $e\approx 2,72$ para calcular um valor aproximado para f(10).

john escreveu:O f(-10) é no ramo de baixo certo? Dá-me 101/21.

Sim. Mas o valor correto é f(-10) = -33/7.

por **john** » Ter Fev 15, 2011 13:35

Obrigado pela ajuda. Estive a verificar e faltavam-me parênteses. Por isso davam os valores errados.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 16:11

Estive tentando resolver este.
A alínea a) fiz o f(2)= 2
Mas não consigo sair da indeterminação quando o limite tende para 2+.

Podem-me ajudar?

Na alínea b, é só fazer f(3) e f(-3) e ver se têm sinal contrário? O que significa f(c)=7 ?

Mas f(3)~8,99 e f(-3)~0,50. Não têm sinal contrário. Que faço?

Cumprimentos!

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 16:40

Para fazer o quesito (a) você precisa resolver o limite:

$\lim_{x\to 2^+}\frac{x\ln (x^3 - 7)}{x-2}$

Ele é uma indeterminação do tipo 0/0. Aplique a regra de L'Hôpital. Você irá obter que esse limite é igual a 24. (Lembrete: na hora de derivar o numerador não se esqueça que você tem um produto e uma regra da cadeia para desenvolver).

john escreveu:Na alínea b, é só fazer f(3) e f(-3) e ver se têm sinal contrário?

Não. Leia atentamente o Teorema de Bolzano já citado anteriormente e você saberá o que fazer.

john escreveu:O que significa f(c)=7?

Significa que algum c no domínio da função f tem como imagem o 7.

Por exemplo. Considere a função real f(x)=2x+1. Qual é o c no domínio da função f tal que a imagem é 9? Isto é o mesmo que perguntar: que valor c do domínio é tal que f(c)=9? Nesse caso em particular é c=4.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 16:58

O que eu fiz na alínea a, foi isto:

x' * $ln({x}^{3}-7)$ +x* $ln({x}^{3}-7)\prime$

$ln({x}^{3}-7)$ + ${3x}^{3}$

Substituindo dá 24. Mas não fiz regra da cadeia. É necessário? Tomando este valor de 24 a função não é contínua certo?

Na alínea b), estive a pensar e como ela não é contínua, não existe certo?

Obrigado!

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 17:18

john escreveu:O que eu fiz na alínea a, foi isto:

$x' *ln({x}^{3}-7)+x*ln({x}^{3}-7)\prime$

$ln({x}^{3}-7)+{3x}^{3}$

Substituindo dá 24. Mas não fiz regra da cadeia. É necessário?

Se há a composição de funções então deve haver a regra da cadeia para derivá-la!

$[x\ln(x^3-7)]^\prime = x^\prime \ln(x^3-7) + x [\ln(x^3-7)]^\prime$

$= 1\cdot \ln(x^3-7) + x\frac{1}{x^3-7}(x^3-7)^\prime$

$= \ln(x^3-7) + \frac{3x^3}{x^3-7}$

Portanto:
$[x\ln(x^3-7)]^\prime = \ln(x^3-7) + \frac{3x^3}{x^3-7}$

Nessa questão você errou o calculo da derivada, mas achou os 24 ao substituir x por 2 pois no denominador da derivada correta aparece 2^3 - 7 = 1. Só por isso. De um modo geral, você teria achado um valor diferente.

john escreveu:Na alínea b), estive a pensar e como ela não é contínua, não existe certo?

Note que para $x\leq 2$ a expressão $\frac{e^{x-2}-3}{x-3}$ não tem qualquer restrição! Teríamos problema se x>2, pois aí o 3 estaria incluído o que faria aparecer um 0 no denominador.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 17:37

Ok. Então m teria de ser 12.

Não percebi este passo:

$= 1\cdot \ln(x^3-7) + x\frac{1}{x^3-7}(x^3-7)^\prime$

$= \ln(x^3-7) + \frac{3x^3}{x^3-7}$

Porquê 3x^3 no numerador? A derivada é 3x^2. Você multiplicou por o x que está antes? Mas então também não tinha que multiplicar no denominador?

Estou um bocado confuso.

Quanto à alínea b, continuo sem perceber esse tipo de exercício. Já li várias vezes o Teorema, mas não entendo. Não percebo quando é que existe e quando não existe. Desculpe estar a ser chato, mas não entendi mesmo :(

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 17:59

john escreveu:Não percebi este passo:

$= 1\cdot \ln(x^3-7) + x\frac{1}{x^3-7}(x^3-7)^\prime$

$= \ln(x^3-7) + \frac{3x^3}{x^3-7}$

Porquê 3x^3 no numerador? A derivada é 3x^2. Você multiplicou por o x que está antes? Mas então também não tinha que multiplicar no denominador?

Responda você mesmo essas perguntas! Para ajudar, vou dar um exemplo numérico: $10\cdot \frac{3}{7} \cdot 5 = \frac{10}{1}\cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10\cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 7 \cdot 1} = \frac{150}{7}$ .

john escreveu:Quanto à alínea b, continuo sem perceber esse tipo de exercício. Já li várias vezes o Teorema, mas não entendo. Não percebo quando é que existe e quando não existe. Desculpe estar a ser chato, mas não entendi mesmo :(

Teorema de Bolzano

Se f é uma função real contínua definida em [a, b], então para todo d no intervalo [f(a), f(b)] existe um c no intervalo [a, b] tal que f(c)=d.

Vamos ler atentamente o texto.

A primeira parte diz: "Se f é uma função real contínua definida em [a, b] (...)".

Agora responda a pergunta: a função g do exercício é contínua em [-3, 3]?

Caso ela seja, então podemos passar para a segunda parte do teorema, que diz "(...) então para todo d no intervalo [f(a), f(b)] (...)".

Agora responda mais essa outra pergunta: o valor 7 está no intervalo [g(-3), g(3)]?

Se a resposta é sim, então podemos ir para a parte final do teorema, que diz " (...) existe um c no intervalo [a, b] tal que f(c)=d".

No exercício temos que d=7. Isto é, se as perguntas que eu fiz tiverem reposta afirmativa, então você vai poder afirmar que existe c em [-3, 3] tal que g(c)=7.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 18:12

LuizAquino escreveu:Responda você mesmo essas perguntas! Para ajudar, vou dar um exemplo numérico: $10\cdot \frac{3}{7} \cdot 5 = \frac{10}{1}\cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10\cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 7 \cdot 1} = \frac{150}{7}$ .

Entendi. Obrigado.

LuizAquino escreveu:Teorema de Bolzano
Se f é uma função real contínua definida em [a, b], então para todo d no intervalo [f(a), f(b)] existe um c no intervalo [a, b] tal que f(c)=d.

Vamos ler atentamente o texto.

A primeira parte diz: "Se f é uma função real contínua definida em [a, b] (...)".

Agora responda a pergunta: a função g do exercício é contínua em [-3, 3]?

Sim, porque ela é contínua em todo o seu domínio.

Caso ela seja, então podemos passar para a segunda parte do teorema, que diz "(...) então para todo d no intervalo [f(a), f(b)] (...)".

Agora responda mais essa outra pergunta: o valor 7 está no intervalo [f(-3), f(3)]?

f(-3)=0,50
f(3)= 8,99

Sim, está no intervalo.

Se a resposta é sim, então podemos ir para a parte final do teorema, que diz " (...) existe um c no intervalo [a, b] tal que f(c)=d".

No exercício temos que d=7. Isto é, se as perguntas que eu fiz tiverem reposta afirmativa, então você vai poder afirmar que existe c em [-3, 3] tal que f(c)=7.Então é verdade, correcto?

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 18:42

john escreveu:Agora responda a pergunta: a função g do exercício é contínua em [-3, 3]?
Sim, porque ela é contínua em todo o seu domínio.

Agora responda mais essa outra pergunta: o valor 7 está no intervalo [g(-3), g(3)]?
g(-3)=0,50
g(3)= 8,99
Sim, está no intervalo.

Então é verdade, correcto?

Está vendo que com uma leitura atenta você consegue fazer a questão?!

Só chamo sua atenção para o cálculo de g(-3), que é aproximadamente 5,99.