Valor de k na Equação

por **nainaneta** » Sex Fev 18, 2011 14:21

Bem, não consigo me lembrar de como responder a este problema. Encontre o valor de k para o qual uma das raízes da equação x²-4kx+6k=0 é o quádruplo da outra. Alguém pode me ajudar? Grata

por **DanielFerreira** » Sex Fev 18, 2011 18:35

Bem, não consigo me lembrar de como responder a este problema. Encontre o valor de k para o qual uma das raízes da equação x²-4kx+6k=0 é o quádruplo da outra. Alguém pode me ajudar? Grata

Raízes:
$x' = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x'' = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

x' = 4 * x''

$\frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 4 . \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

$\frac{- b + \sqrt{\Delta}}{1} = 4 . \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{1}$

$- b + \sqrt{\Delta} = 4 . [- b - \sqrt{\Delta}]$

$- b + \sqrt{\Delta} = - 4b - 4\sqrt{\Delta}$

$5\sqrt{\Delta} = - 3b$

$(5\sqrt{\Delta})^2 = (- 3b)^2$

$25\Delta = 9b^2$

25(b^2 - 4ac) = 9b^2

$k = \frac{75}{32}$

acho que é isso!

por **LuizAquino** » Sex Fev 18, 2011 23:12

nainaneta escreveu:Bem, não consigo me lembrar de como responder a este problema. Encontre o valor de k para o qual uma das raízes da equação é o quádruplo da outra. Alguém pode me ajudar? Grata

Se x' e x'' são as raízes da equação do 2° grau ax^2+bx+c=0

, é sabido que $x^\prime + x^{\prime\prime}=-\frac{b}{a}$ (soma das raízes) e $x^\prime\cdot x^{\prime\prime}=\frac{c}{a}$ (produto das raízes).

A questão pede que uma raiz seja o quadruplo da outra. Isto é, x' = 4x''.

Aplicando as fórmulas para a soma e o produto entre as raízes, obtemos:

$4x^{\prime\prime} + x^{\prime\prime}=4k \Rightarrow 5x^{\prime\prime} = 4k$

$4x^{\prime\prime}\cdot x^{\prime\prime}=6k \Rightarrow 4(x^{\prime\prime})^2 = 6k$

Substituindo x'' da primeira equação na segunda:
$4\left(\frac{4k}{5}\right)^2 = 6k$

Arrumando essa equação, obtemos:
64k^2 - 150k = 0