Polinômios

por **Rose** » Seg Set 08, 2008 22:07

OLá!!

Não estou sabendo como fazer este problema sobre polinômios. Gostaria que vocês me ajudassem.

Questão: Determine o polinômio com coeficientes inteiros que tenha raiz de 3 + raiz 2 como uma de suas raizes.

Obrigada

por **admin** » Ter Set 09, 2008 21:33

Olá Rose!

Pelo teorema da decomposição, todo polinômio

de grau

( $n \geq 1$ )

$P = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$

pode ser decomposto de maneira única em

fatores do primeiro grau.
Desta forma, podemos reescrevê-lo assim:

$P = a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots(x-r_n)$

onde $r_1, r_2, r_3, \cdots, r_n$ são as raízes de

.

Sendo assim, se $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ é raiz, então:

$x-\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)$ divide o polinômio.

Em outras palavras,

é múltiplo de $x-\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)$ .

Como sabemos apenas esta raiz, uma alternativa é supor a_n = 1

e avaliarmos o produto:

$P' = \left[ x-\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right) \right] \cdot \left[ x+\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right) \right]$

sendo o outro fator o conjugado, pois estamos em busca de coeficientes inteiros.

Faça a distributiva e caso não obtenha coeficientes inteiros, multiplique novamente por um fator "conjugado" ao polinômio atual, visando eliminar as raízes dos coeficientes.

Bons estudos!

por **Rose** » Qua Set 10, 2008 11:50

OLá!!

Obrigadaaa!!!

Depois desta explicação, consegui entender o teorema da decomposição e sua utilidade. Resolvi e cheguei a um polinômio de grau 4. Valeu genteee!!!!

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