Transformações lineares injetoras e sobrejetora!

por **Manoella** » Sáb Jan 22, 2011 14:16

vejo q com as discussões feitas aki...O conteudo flui...
Agora para concluir meu raciocinio sobre o q é transformação linear injetora e sobrejetora, alguém poderia mim ajudar a entender pode existir uma transformação linear injetora T : ${R}^{3}\rightarrow{R}^{2}$ ? existe sim...Mas pq??? Mim ajude a explicar com calculos?
Sei tb q não é possivel uma transformação sobrejetora T: ${R}^{2}\rightarrow{R}^{3}$ . Mim ajude a fazer os calculos do Pq, disso?

Por favor ficarei grata pela sua ajuda!

por **Elcioschin** » Sáb Jan 22, 2011 19:13

Manoela

Primeiro vou te ajudar com o português:

1) ..... alguém poderia me ajudar a entender ....

2) .... Mas pq??? Me ajude a fazer os cálculos .....

por **Manoella** » Dom Jan 23, 2011 22:28

Não pedi ajuda de Portugues

Elcioschin escreveu:Manoela

Primeiro vou te ajudar com o português:

1) ..... alguém poderia me ajudar a entender ....

2) .... Mas pq??? Me ajude a fazer os cálculos .....

Ola querido amigo, apesar de não pedi ajuda de portugues.Obrigada foi relapso meu ao digitar.Mas voce fazendo isso ninguém responde minha duvida.Quem muito não ajuda não atrapalha por favor!!!

Aiinda continuo preciso de ajuda de pessoas comprometidas em ajudar!

por **Manoella** » Dom Jan 23, 2011 22:30

Manoella escreveu:vejo q com as discussões feitas aki...O conteudo flui...
Agora para concluir meu raciocinio sobre o q é transformação linear injetora e sobrejetora, alguém poderia me ajudar a entender pode existir uma transformação linear injetora T : ${R}^{3}\rightarrow{R}^{2}$ ? existe sim...Mas pq??? Me ajude a explicar com calculos?
Sei tb q não é possivel uma transformação sobrejetora T: ${R}^{2}\rightarrow{R}^{3}$ . Me ajude a fazer os calculos do Pq, disso?

Por favor ficarei grata pela sua ajuda!

por **LuizAquino** » Seg Jan 24, 2011 10:07

Olá Manoella,

Primeiro, não é porque você estuda Matemática que pode descuidar-se do Português. Portanto, veja as correções do colega como uma crítica construtiva e evite escrever errado, seja lá onde for.

Agora, vejamos a sua dúvida.

Vamos começar com noções intuitivas e não muito formais. Vamos pensar em funções de um modo geral (lembre-se que uma transformação linear é uma função, mas que tem duas propriedades particulares: preserva a soma; preserva o produto por escalar).

Considere dois conjuntos, A e B, de modo que A tem 3 elementos e B tem 2 elementos.

É possível criar uma função de A para B que seja injetora? Bem, sabemos que uma função é injetora quando para quaisquer dois elementos diferentes do domínio tivermos imagens diferentes, isto é, a associação entre domínio e imagem é de 1 para 1. Perceba que não é possível fazer isso nesse caso, pois no conjunto A sempre sobraria um elemento, o que não pode ocorrer já que A deveria ser o domínio da função. Veja o diagrama abaixo.

: Não pode haver função injetora de A para B.; Diagrama1.png (19.96 KiB) Exibido 8395 vezes

Por outro lado, é possível criar uma função de B para A que seja sobrejetora? Bem, sabemos que uma função é sobrejetora quando o contra-domínio é igual a imagem, isto é, todo elemento do contra-domínio está associado a algum elemento do domínio. Perceba que não é possível fazer isso nesse caso, pois no conjunto B haveria um elemento associado a mais de um elemento do conjunto A, o que não pode ocorrer já que B deveria ser o domínio da função. Veja o diagrama abaixo.

: Não pode haver função sobrejetora de B para A.; Diagrama2.png (21.34 KiB) Exibido 8395 vezes

Dito isso, vamos analisar as transformações lineares de $\mathbb{R}^m$ em $\mathbb{R}^n$ . Nos exemplos anteriores, os conjuntos A e B eram finitos, entretanto agora estamos tratando com dois conjuntos infinitos. Porém, se m>n, os conjuntos $\mathbb{R}^m$ e $\mathbb{R}^n$ possuem dimensões distintas e haverá "mais elementos" em $\mathbb{R}^m$ do que em $\mathbb{R}^n$ (apesar dos dois conjuntos serem infinitos). Utilizando as noções vistas anteriormente, poderemos então enxergar intuitivamente a afirmação:
Se m>n, então:
(i) a transformação linear $T:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ não pode ser injetora.
(ii) a transformação linear $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ não pode ser sobrejetora.

Observação: Para entender melhor sobre essa ideia de dois conjuntos infinitos, mas que um tem "mais elementos" do que outro, você precisa estudar Teoria de Conjuntos, principalmente o conceito de cardinalidade. Apenas como outro exemplo, os conjuntos $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ possuem a mesma cardinalidade, mas o conjunto $\mathbb{R}$ tem uma cardinalidade maior do que qualquer um desses conjuntos. Ou seja, é correto afirmar que há mais números reais do que naturais, inteiros ou racionais, apesar de todos esses conjuntos serem infinitos.

Agora, sendo um pouco mais formal, há um teorema que é muito aplicado para discutir sobre injetividade e sobrejetividade de transformações lineares. Trata-se do Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem:

Seja $T:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ uma transformação linear, então é válido que:
$\dim(\mathbb{R}^m) = \dim(N(T)) + \dim(Img(T))$ ,
onde N(T) é o núcleo da transformação linear e Img(T) é a sua imagem.

Usando esse teorema, vejamos como justificar as afirmações (i) e (ii):
Se m>n, então:
(i) a transformação linear $T:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ não pode ser injetora.
Se T fosse injetora, então $N(T)=\{0\}$ e por definição $\dim(N(T))=0$ . Usando o teorema, deveríamos ter:
$\dim(\mathbb{R}^m) = \dim(Img(T))$ ,
porém $\dim(Img(T)) \leq \dim(\mathbb{R}^n)$ , de onde teríamos:
$\dim(\mathbb{R}^m) \leq \dim(\mathbb{R}^n)$
Mas, isso é absurdo, já que por hipótese m>n. Portanto, T não pode ser injetora.

ii) a transformação linear $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ não pode ser sobrejetora.
Se T fosse sobrejetora, então $Img(T)=\mathbb{R}^m$ e portanto $\dim(Img(T))=\dim(\mathbb{R}^m)$ . Usando o teorema, deveríamos ter:
$\dim(\mathbb{R}^n) = \dim(N(T)) + \dim(\mathbb{R}^m)$ ,
de onde teríamos:
$\dim(N(T)) = \dim(\mathbb{R}^n) - \dim(\mathbb{R}^m) = n - m$
Mas, isso é absurdo, já que por hipótese m>n e desse modo teríamos $\dim(N(T))<0$ , o que não pode ocorrer já que não há dimensão negativa. Portanto, T não pode ser sobrejetora.

Por fim, recomendo que você estude cuidadosamente esses conceitos. Se desejar, use o livro "Introdução à Álgebra Linear" de Reginaldo J. Santos, disponível em:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/