Nucleo e imagem

por **baianinha** » Sex Jan 21, 2011 21:00

Gostaria de saber como se calcula o nucleo e a imagem de uma transformação Linear?

Alguém poderia mim ajudar?

Assim...tenho a lei que é o primeiro passo...Mas e ai, faço o q depois disso?

Exemplo, q peguei nesse forum mesmo...lei é ( x-y;5x-8y;-5x +10y)
sei q agora monto um sistema e daí??? vou para onde?? alguém poderia mim ajudar e a imagem fica como?

por **LuizAquino** » Sáb Jan 22, 2011 11:44

Olá Baianinha,

Vejamos um exemplo. Vamos considerar a transformação linear $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ definida por $T(x,\,y) = (x-y,\, 5x-8y,\, -5x +10y)$ .

O núcleo (ou kernel) dessa transformação linear é definido como:
$N(T) = \{ v\in \mathbb{R}^2 \mid \, T(v)=0\}$
Portanto, precisamos resolver a equação:

$T(x,\, y) = 0$

$(x-y,\, 5x-8y,\, -5x +10y) = 0$

De onde obtemos o sistema:
$\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 8y = 0 \\ -5x + 10y = 0 \end{cases}$

A única solução desse sistema é x=0 e y=0. Portanto o núcleo dessa transformação tem apenas um elemento, que é o (0, 0). Ou seja, diremos que:
$N(T)=\{ (0,\, 0) \}$

A imagem dessa transformação linear é definido como:
$Img(T) = \{ T(v) \mid v \in \mathbb{R}^2\}$

Para determinar a imagem podemos determinar uma base para a mesma.

Nesse exemplo, todos os elementos da imagem tem o formato (x-y, 5x-8y, -5x +10y). Note que qualquer elemento dessa imagem pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 5, -5) e (-1, -8, 10):
(x-y, 5x-8y, -5x +10y) = x(1, 5, -5) + y(-1, -8, 10).

Portanto, o conjunto {(1, 5, -5), (-1, -8, 10)} gera a imagem. Se esse conjunto for L.I., então ele formará uma base para a imagem.

De fato, ele é L.I., pois a equação
k(1, 5, -5) + m(-1, -8, 10) = 0,
só possui uma única solução que é k=m=0.

Sendo assim, temos que:
$Img(T) = \{k(1, 5, -5) + m(-1, -8, 10) \mid k,\, m \in \mathbb{R}\}$

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