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Integral Estranha

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Mensagempor OtavioBonassi » Sáb Jan 15, 2011 14:57

"O valor de \int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx é : "

Galera, tentei fazer essa integral por aquele método de divisao de polinomios ,e fazer A + B + C etc etc mas não deu certo nao ,alguem tem alguma idéia ?
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Re: Integral Estranha

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Jan 15, 2011 19:55

Como você fez a divisão? Talvez tenha feito errado.
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Re: Integral Estranha

Mensagempor OtavioBonassi » Dom Jan 16, 2011 01:15

Então Fantini ,mas acho que nao é por esse jeito que eu tava fazendo não cara, sei lá
porque a resposta pro exercicio é 4ln2 - pi ,da onde raios eu vou tirar um pi fazendo por esse método ?! Seguindo esse caminho ai eu vou cair em umas integrais de polinomios, sem idéia de como chegar nesse resultado
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Re: Integral Estranha

Mensagempor MarceloFantini » Dom Jan 16, 2011 14:55

Ainda não consegui resolver. Curiosidade: de onde tirou essa integral?
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Re: Integral Estranha

Mensagempor OtavioBonassi » Dom Jan 16, 2011 16:40

Tirei da prova de transferência USP 2009
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Re: Integral Estranha

Mensagempor Santa Lucci » Qui Fev 03, 2011 15:37

Olá, tudo bom? Segue a minha resolução, perdoe-me pelos possíveis erros.

\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx

Usando o método das frações parciais...

\frac {4x^2-4x}{(x+1)(x^2 + 1)} = \frac {A}{x+1} + \frac {B}{x^2+1}

4x^2-4x = A(x^2+1)+B(x+1)
4x^2-4x \equiv Ax^2+A+Bx+B

Montando e resolvendo um sistema de equações, descobrimos que
A=4 e B=-4

Então,
\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = \int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx

Como a integral indefinida de \frac {1}{x+1} é ln(x+1) + c; e a de \frac {1}{x^2+1} é arctg(x)+c, temos (já substituindo os extremos de integração),

\int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx = 4 [ln(2)-ln(1)] - 4[arctg(1)-arctg(0)]

Portanto,
\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = 4 ln(2) - \pi

Att,
Santa Lucci.
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Re: Integral Estranha

Mensagempor Santa Lucci » Qui Fev 03, 2011 15:38

Olá, tudo bom? Segue a minha resolução, perdoe-me pelos possíveis erros.

\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx

Usando o método das frações parciais...

\frac {4x^2-4x}{(x+1)(x^2 + 1)} = \frac {A}{x+1} + \frac {B}{x^2+1}

4x^2-4x = A(x^2+1)+B(x+1)
4x^2-4x \equiv Ax^2+A+Bx+B

Montando e resolvendo um sistema de equações, descobrimos que
A=4 e B=-4

Então,
\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = \int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx

Como a integral indefinida de \frac {1}{x+1} é ln(x+1) + c; e a de \frac {1}{x^2+1} é arctg(x)+c, temos (já substituindo os extremos de integração),

\int_{0}^1 \frac {4}{x+1} - \frac{4}{x^2+1} dx = 4 [ln(2)-ln(1)] - 4[arctg(1)-arctg(0)]

Portanto,
\int_{0}^1 \frac {4x^2 - 4x}{(x+1)(x^2 + 1)} dx = 4 ln(2) - \pi

Att,
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}