Demonstração Relações Métricas

por **PedroSantos** » Ter Dez 07, 2010 22:59

Após alguma pesquisa encontrei uma forma de demonstrar algumas razões métricas de um triangulo retangulo.Nomeadamente:

-Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projecção sobre a hiputenusa pelo compromento da hipotenusa.
${b}^{2}=a.n$

-O comprimento da altura relativa à hipotenusa ao quadrado é igual ao produto das projecções dos catetos sobre a hipotenusa.
${h}^{2}=m.n$

O método que encontrei, recorre à adição e ao produto escalar de vectores. Tomemos a seguinte figura:

: triangulo1.png (3.01 KiB) Exibido 1699 vezes

Cada um dos vertices do triangulo têm uma identificação identica ao lado oposto e o pé da altura relativa à hipotenusa será denotado por H.

A primeira relação afirma que

${CA}^{2}=CB.CH$

Então:

${CA}^{2}=CA.CA$

${CA}^{2}=CA.CB$ ( a projecção da hipotenusa sobre um eixo ortognal é o cateto-base)

${CA}^{2}=(CH+HA).CB$ (decomposição de CA nos seus elementos)

${CA}^{2}=CH.CB+HA.CB$ (os vectores HA e CB são prependiculares, o produto escalar é 0)

${CA}^{2}=CH.CB$

O vector CA corresponde ao cateto b, o CH corresponde à projecção de b sobre a hipotenusa e CB é o comprimento da hipotenusa.
Basta proceder de forma semelhante para a outra relação métrica.

Podem confirmar se o meu raciocino está correcto. Existem outras formas de demostrar estas relações métricas?

Fonte:
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/DevoirsP_fichiers/DM15.pdf