Lei do seno e cosseno

[renataf]

A medida da soma dos lados AC e BC do triângulo a seguir é:

a) 14,2
b) 6
c) 8( resposta)
d) 2 V3 +6 (2 raiz de 3)
e) 16,2

Eu fiz primeiro pela lei do seno e achei lado BC=6 ai fiz p/ lei do cosseno e achei AC= 6+V108/2. Já fiz e refiz p/ ver se eu tinha errado algum calculo e nada chega proximo da respota. Por favor, se alguém puder me ajudar.

[Elcioschin]

AB/sen30º = BC/sen45º ----> 3*V2/(1/2) = BC/(V2/2) ----> BC = 6

AC = AB*cos45º + BC*cos30º ----> AC = (3*V2)*(V2/2) + 6*V3/2 ---> AC = 3 + 3*V3

AC + BC = 9 + 3*V3 ----> AC + BC ~= 14,2

[renataf]

Então o gabarito está errado?

[Lorettto]

Seu gabarito não está errado. Você estava no caminho certo ao fazer a lei dos senos. Acompanhe com o seu desenho :
SENDO Y O SEGMENTO BC E X O SEGMENTO AC .

y / sen 45º = 3V2 / sen 30º => 1/2 y = 3V2.(V2/2) => 1/2 y = 3.V4/2

1/2 y = 3 => y = 6

Agora que temos o valor do y (BC) = 6 e sabendo-se que a soma dos ângulos do triângulo é 180º , como temos 45º e 30º , restará 105º para 180º. Assim;

X / sen 105º = 6 / sen 30º -----------> CHAMAREMOS ESSA EQUAÇÃO (LEI DOS SENOS) DE ESTRELINHA ( * )

Vamos calcular o valor do x, usando uma relação trigonométrica :

Sen 105º = sen ( 60º + 45º ) = sen 60º. cos 45º + sen 45º . cos 60º = V2 / 2

Substituindo o seno calculado, na equação ESTRELINHA ( * ) TEREMOS :

X / V2 / 2 = 6 / 1/2

X = 3. V2 / 2

Como 3.V2 / 2 é aproximadamente 2,1213 temos :

Y + X = BC + AC = 6 + 2,1213.. Aproximadamente 8 .
Alternativa C.
Abraço do Loreto.

[renataf]

Eu não tendendi ali como vc chego em V2/2 como sen 105. Pq eu cheguei em V6/4 + V2/4. Tentei tirar o 6 daraiz, mas vai ficar V3.2. Como vc fez?

[Elcioschin]

Renata

O seu cálculo de sen105º está corretíssimo. Isto significa que o cálculo do Loretto está equivocado.

De qualquer maneira é perda de tempo calcular este sen105º.

Veja que a minha solução original está correta e nem precisou disto. Isto significa que o seu gabarito está errado.

[renataf]

Ok então. Obrigado a vcs dois por se disporem a resolver o exercicio!

[Lorettto]

Renata, a resposta do Elcioschin não está errada não, me desculpe, mas eu cometi um erro "FATAL" na hora que fazer a lei dos senos, você precisa pegar sempre o ângulo oposto. Me desculpe mesmo, mas todo resto da minha resposta está correta. Eu achei o valor do ângulo de 105º fazendo a " soma de arcos ".
Não sei se você entendeu minha resolução, mas vou postar novamente como deveria ter feito antes, sem nenhum erro.

Sejam:

A = 30º
B = 45º
C = 180-30-45 = 105º
a = 3?2

Aplicando a Lei dos Senos, teremos:

a/sen A = b/sen B = c/sen C

(3?2)/sen 30º = b/sen 45º ? (3?2)/(1/2) = b/(?2/2) ? (6?2) = 2b/(?2) ? (6?2) = (?2)b ?

? 6 = b

então, aplicando novamente a Lei dos senos para encontrar o lado "c":

(3?2)/sen 30º = c/sen C

(3?2)/sen 30º = c/sen 105º ? (3?2)/(1/2) = c/sen (180-105) ? 6?2 = c/sen(75º) ?

? 6?2 = c/sen(30+45) ? 6?2 = c/[sen30*cos45 + sen45*cos30] ? 6?2 = c/[(1/2)*(?2/2) + (?2/2)*(?3/2)] ?

? 6?2 = c/[(?2/4) + (?6/4)] ? 6?2 = c/[(?2+?6)/4] ? (6?2)[(?2+?6)/4] = c ?

? [(6*2+12?3)/4] = c ? [(12+12?3)/4] = c ? [(3+3?3)] = c

Somando b+c, teremos:

b+c = 6 + [(3+3?3)] = 9 + 3?3

para um valor aproximado, vamos considerar ?3 = 1,73

9+3?3 = 9+3*1,73 = 14,19

Resposta: Alternativa A.........( Correção feita por Magma ) .

Não sei se você entendeu, mas se tiver alguma dúvida, por favor, volte a perguntar. Se você observar na outra resolução, eu acabei pegando o ângulo de 30º ao invés de pegar o ângulo de 45º .
Existe uma outra forma de resolver esse exercício, mas vem de conhecimento prévio sobre algumas coisas. Essa outra resolução não é minha, e como foi apenas comentada, também não entendi completamente. Se a autora da resposta me explicar corretamente, posto aqui pra você.
Preciso dizer que o autor não foi muito feliz ao fazer o segmento AC como base, a rotação do triângulo facilitaria melhor visualização na resolução, enfim, quero dizer que esse seu exercício me trouxe outras indagações.
Um beijão, Loreto.