(n k)=(n n-k)

por **alexandre32100** » Ter Nov 23, 2010 16:27

Que $\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ todos nós sabemos, mas alguém sabe provar esta igualdade, sem, no entanto, usar-se da fórmula algébrica?

por **victoreis1** » Ter Nov 23, 2010 17:08

usando a fórmula dá pra provar facilmente.. se vc construir o triângulo de pascal também..

como exatamente provar?

por **alexandre32100** » Ter Nov 23, 2010 20:43

Usando a dialética (argumentos combinatórios), talvez.

por **alexandre32100** » Qua Nov 24, 2010 13:06

Ah, um argumento seria o seguinte:
$\dbinom{n}{k}$ corresponde à contagem de quantos grupos de

elementos podemos formar a partir de um conjunto de

. Esta mesma contagem pode ser feita escolhendo quais os n-k

elementos que não farão parte dos grupos (e consequentemente os que não serão escolhidos farão parte), $\dbinom{n}{n-k}$ grupos.
Assim conclui-se que $\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .

por **victoreis1** » Qua Nov 24, 2010 20:12

alexandre32100 escreveu:Ah, um argumento seria o seguinte:
$\dbinom{n}{k}$ corresponde à contagem de quantos grupos de elementos podemos formar a partir de um conjunto de . Esta mesma contagem pode ser feita escolhendo quais os elementos que não farão parte dos grupos (e consequentemente os que não serão escolhidos farão parte), $\dbinom{n}{n-k}$ grupos.
Assim conclui-se que $\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .

exatamente, pois para cada subconjunto

de elementos de

, haverá sempre um subconjunto complementar n-k