Área Sombreada

por **Balanar** » Sex Nov 19, 2010 14:14

Determine a área da região em destaque:
ABCD é um quadrado.
Imagem

Resposta:
$\frac {(3-2\sqrt {2})\pi a^2}{16}$

por **victoreis1** » Sex Nov 19, 2010 14:20

Tou um pouco sem tempo, mas direi como eu calcularia isso:

Seja O o centro da circunferência menor, que coincide com o centro do quadrado, e 'o' o centro de uma das circunferências maiores. Calcule a distância de O até 'o', usando geometria analítica básica, depois subtraia dessa distância o raio de uma circunferência maior (igual à metade do lado do quadrado). Então restará somente o raio da circunferência menor, use a fórmula da área de uma circunferência e acabou-se o problema..

tomara que tenha dado pra entender

por **Pedro123** » Sex Nov 19, 2010 15:43

Fala meu amigo, como não sei usar esse Latex muito bem, fiz uma resolução ao meu jeito ta ai abrass

qualquer duvida pergunte

por **alexandre32100** » Sex Nov 19, 2010 15:52

O raio de cada circunferência maior é $\dfrac{a}{4}$ , chamarei de

o raio da cincunferência menor.

: figura.png (40.97 KiB) Exibido 4243 vezes

Por Pitágoras: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\left(\dfrac{a}{2}+2r\right)^2$
$\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2}{4}+2ar+4r^2$
$4r^2+2ar-\dfrac{a^2}{4}=0\therefore 16r^2+8ar-a^2=0$
Aplicando Bhaskara, Báskara ou Báscara chegamos a $r'=\dfrac{a}{4}\cdot\left(\sqrt{2}-1\right) \text { e } r''=-\dfrac{a}{4}\cdot\left(\sqrt{2}+1\right)$ . Podemos descartar r''

, pois, com

positivo, esta raiz assume valor negativo.
Concluímos que $r=\dfrac{a}{4}\cdot\left(\sqrt{2}-1\right) Por fim [tex]\\A_{\circ}=\pi r^2=\pi\cdot\dfrac{a^2}{16}\cdot(\sqrt{2}-1)^2=\dfrac{(3-2\sqrt{2})a^2\pi}{16}$