Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

por **admin** » Dom Set 02, 2007 04:52

No dia 31/08/2007, o Jornal da Globo exibiu uma reportagem sobre a Mega Sena acumulada:

R$ 54 milhões na Mega Sena
A chance de um jogador ganhar continua sendo de uma em 50 milhões, mas os matemáticos garantem que a probabilidade do prêmio sair desta vez é muito grande.

Além desta citação, baseada na explicação de um matemático em entrevista, o jornalista comentou que seria "mais fácil" jogarmos 26 moedas iguais para o alto e todas caírem do mesmo lado, do que ganharmos na Mega Sena.

Deixo aqui algumas perguntas:

Você já calculou a probabilidade de se ganhar na Mega Sena?
Este exemplo utilizado no jornal, é verdadeiro?
Por que este número de 26 moedas?
Será que nós poderíamos dizer, por exemplo, que jogar 27 moedas iguais para o alto e todas caírem do mesmo lado, é "mais difícil" então do que ganharmos na Mega Sena?
Como "os matemáticos garantem" a citação inicial do jornal?

por **jose reis pimenta** » Ter Nov 13, 2007 19:57

Considerando que a probalidade de uma moeda dar cara é 1/2,
duas moedas dar cara é de 1/4 e assim a probabilidade de n moedas dar cara é 2 elevado a n, donde podemos concluir que a probabilidade de lançar 26 moedas e todas dar cara é de 2 elevado a 26, daí, temos P= 1/67.108.864 o que se percebe que é mais fácil acertar na mega sena do que tirar 26 caras num lançamento de 26 moedas.

por **admin** » Ter Nov 13, 2007 21:13

jose reis pimenta escreveu:Considerando que a probalidade de uma moeda dar cara é 1/2,
duas moedas dar cara é de 1/4 e assim a probabilidade de n moedas dar cara é 2 elevado a n, donde podemos concluir que a probabilidade de lançar 26 moedas e todas dar cara é de 2 elevado a 26, daí, temos P= 1/67.108.864 o que se percebe que é mais fácil acertar na mega sena do que tirar 26 caras num lançamento de 26 moedas.

Olá jose, seja bem-vindo ao fórum!

Notem que o comentário do jornalista foi sobre as moedas caírem do mesmo lado, o que não exige que todas caiam do lado cara.
Podem também todas caírem do lado coroa e ainda estarão do mesmo lado!

Vale outro comentário rápido: a probabilidade é a quociente entre o número de eventos favoráveis, sobre o número de eventos possíveis.
Este número (a probabilidade) pertence sempre ao intervalo real fechado [0, 1]

.
Ou seja, uma probabilidade nunca é, por exemplo, $2^{26}$ .

Neste caso, nós temos 2 eventos favoráveis: todas em cara, ou todas em coroa.
Sendo então a probabilidade ao lançar as moedas:
$P = \frac{2}{2^{26}} = \frac{2}{67.108.864} = \frac{1}{33.554.432}$
Vejam que a façanha das moedas ainda é "mais fácil" do que ganhar na Mega Sena.

Agora reparem o que acontece quando aumentamos uma moeda!

Abraços!

por **jose reis pimenta** » Dom Nov 18, 2007 07:25

Realmente, você tem razão, pois quando resolvi deixei de considerar as duas possibilidades "cara" e "coroa".
Olha gostaria de dizer-lhe que apesar de amante da matemática, a minha formação acadêmica é em direito, apesar de não exercê-la, devido a incompatibilidade de minha função de funcionário público na Justiça Federal (técnico).
Abraços. Pimenta

por **admin** » Seg Nov 19, 2007 13:27

Olá Pimenta!
Acredito que independentemente do que se faz, o importante é gostar, pois faremos melhor.
Sucesso!

por **admin** » Seg Dez 03, 2007 15:50

Há algum tempo o site da Caixa Econômica Federal informava "fórmulas" para os cálculos das probabilidades.
Considerando algumas buscas de visitantes por este assunto aqui na Ajuda Matemática e o fato de que atualmente a Caixa apenas informa a probabilidade, sem mais detalhes sobre o cálculo (http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp), eis um comentário para obtermos a probabilidade de acerto informada para 6 dezenas que é de 1 em 50.063.860 (50 milhões 63 mil 860).

$P = \frac{1}{50.063.860}$

Veja este número em representação decimal:

E o percentual de acerto:
$P = 0,000001997448858...\%$

São 6 dezenas sorteadas dentre 60, sem repetição:

$\underbrace{ \begin{array}{cccccc} \overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a} \end{array} }_\mbox{dezenas sorteadas}$

Vamos entender o processo.
No sorteio da primeira dezena, temos todas as 60 dezenas disponíveis, ou seja, temos 60 possibilidades:

$\underbrace{ \begin{array}{cccccc} 60 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a} \end{array} }_\mbox{dezenas}$

No sorteio da segunda, como não há repetição da dezena, restam 59 possibilidades:

$\underbrace{ \begin{array}{cccccc} 60 & 59 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a} \end{array} }_\mbox{dezenas}$

Até que no sorteio da última dezena, serão 55 possibilidades:

$\underbrace{ \begin{array}{cccccc} 60 & 59 & 58 & 57 & 56 & 55 \\ \overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a} \end{array} }_\mbox{dezenas}$

Pelo Princípio Fundamental da Contagem: Se há 60 maneiras para 1ª dezena ser sorteada E 59 maneiras para a 2ª dezena ser sorteada ... E 55 maneiras para a 6ª dezena ser sorteada, o número total de maneiras para o sorteio ocorrer será o produto destas possibilidades, ou seja:

$60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 = 36.045.979.200$ (36 bilhões 45 milhões 979 mil e 200 possibilidades)

Dicas para outras pesquisas: rule of product / basic counting principle / the fundamental principle of counting

Em cada conjunto de 6 dezenas, pode haver permutação e ainda assim será considerado o mesmo sorteio.
Da combinatória, se temos

elementos distintos, podemos obter

arranjos destes elementos.
Estes arranjos são chamados de permutações.

(fatorial de n)
$n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \, \cdots \, \cdot1$

Exemplos:

$2! = 2\cdot1 = 2$

$6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720$

De modo que o número total possível de jogos será, de fato, menor.
Porque até então, temos

"jogos repetidos" neste número " $60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55$ ".
Então, para encontrarmos o número total de jogos sem estas repetições, devemos dividir por

.

total possível de sorteios na Mega Sena = $\frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55}{6!} = \frac{36.045.979.200}{720} = 50.063.860$

Na prática, pela teoria combinatória, este é o número de combinações de n elementos distintos tomados de p em p.
Pode ser obtido diretamente por esta "fórmula" (cuja origem é análoga a este processo acima):
$C_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)! \cdot p!}$

Veja como obtemos o mesmo resultado:
$C_{60,6} = \frac{60!}{(60-6)! \cdot 6!} = \frac{60!}{54! \cdot 6!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54!}{54! \cdot 6!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55}{6!}$

$C_{60,6} = 50.063.860$

Como a probabilidade é o quociente entre a quantidade de eventos favoráveis, sobre a quantidade de eventos possíveis, então finalmente podemos representar a probabilidade de acerto na Mega Sena:

$P = \frac{1}{C_{60,6}} = \frac{1}{50.063.860} = 0,00000001997448858...$