[artigo] Uma dedução comentada da fórmula de Bhaskara

[admin]

Sendo uma função do segundo grau, temos:


Com e .

O objetivo é encontrar uma expressão que determine as raízes desta função.
Ou seja, quais os valores para onde:

Portanto, o que de fato buscamos é "isolar" x nesta equação:

Vamos dividir por os dois membros da equação.

Agora, subtrairemos :

Antes de prosseguir, lembre-se de um quadrado perfeito, onde:



Proveniente da propriedade distributiva .

Vamos "criar" um quadrado perfeito no primeiro membro da equação.
Para facilitar a visualização, vamos reescrever o quadrado perfeito com outras letras:


Se chamarmos , assim:

Podemos somar e em seguida subtrair , sem alterarmos a equação, pois

De modo que assim podemos destacar um quadrado perfeito:

E fazendo a substituição da variável , lembrando que:

Com o quadrado perfeito visualizado, vamos reescrever a equação:

Somando nos dois membros:

Deixando o segundo membro com o mesmo denominador (m.m.c.):

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:

Aqui, cuidado, note que:



Pois como está elevado ao quadrado e a raiz deve ser positiva, eis o papel do módulo: garantir que o resultado da raiz seja positivo, mesmo que seja negativo.

Lembrando a definição de módulo:


Veja em um exemplo o papel e importância do módulo, com


De fato, pois:


Veja o que aconteceria se não utilizássemos o módulo:

Não deve ocorrer no conjunto dos números reais.

Após estas observações, vamos utilizar módulo na simplificação da raiz:

Separando as raízes do segundo membro, numerador e denominador:

Extraindo a raiz do denominador e novamente, o módulo aparece:

Igualmente, também podemos escrever assim:

E pela definição de módulo:

Subtraindo dos dois membros:

(fórmula de Bhaskara)

Como nos reais o radicando desta raiz deve sempre ser positivo, ele é freqüentemente avaliado (estudo de sinal), chamado de discriminante (Delta):

Portanto, as raízes de uma função do segundo grau , são obtidas pela expressão:


Sendo que:
Se , as duas raízes são reais e distintas;
Se , há um par de raízes reais e iguais;
Se , há um par de raízes complexas.