(Limites) Encontrar as constantes

por **Haahs** » Qua Nov 04, 2009 00:32

Olá, galera

Estou resolvendo uma lista de cálculo e gostaria de uma ajuda de vocês. Como sou da área de biológicas está sendo um pouco complicado relembrar alguns conceitos. Duas questões em específico tem me tirado o sono (hehe!), já tentei resolver algumas vezes mas sempre empaco em algum lugar. Uma delas é a seguinte:

O enunciado quer que se encontre as constantes da função, de modo que:

1. $\lim_{x\rightarrow1} \frac{b\ \sqrt{x+3} -a}{x-1} = \frac{1}{6}$

Eu tentei resolver primeiramente tirando a constante b e colocando para fora, e em seguida multiplicando pelo conjugado $\frac{\sqrt{x+3}+a}}{\sqrt{x+3}+a}$ , chegando ao seguinte:

$\lim_{x\rightarrow1} \frac{b(x+3 - {a}^{2})}{(x-1)(\sqrt{x+3}+a)} = \frac{1}{6}$

Mas depois disso não consigo chegar ao ponto de conseguir um sistema para resolver para "a" e "b", nem consigo tirar o (x-1) que está zerando o denominador.

Please, help!

por **Haahs** » Sáb Nov 07, 2009 00:43

Ninguém? :-(

por **Molina** » Sáb Nov 07, 2009 12:16

Haahs escreveu:Ninguém? :-(

Bom dia, amigo.

Pra não te deixar sem resposta, vou informar o que eu tentei (mas também sem sucesso...)

$\lim_{x\rightarrow1} \frac{b\ \sqrt{x+3} -a}{x-1} = \frac{1}{6}$

$\lim_{x\rightarrow1} \left( \frac{b\ \sqrt{x+3}}{x-1}- \frac{a}{x-1} \right) = \frac{1}{6}$

$\lim_{x\rightarrow1} \left( \frac{b\ \sqrt{x+3}}{x-1} \right)- \lim_{x\rightarrow1}\left( \frac{a}{x-1} \right) = \frac{1}{6}$

$b*\lim_{x\rightarrow1} \left( \frac{ \sqrt{x+3}}{x-1} \right)- a*\lim_{x\rightarrow1}\left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{1}{6}$

Agora teria que desenvolver esses dois limites, só que não conseguir fazer a "jogada" pra no denominador não dar 0.

:n:

Boas tentativas...

por **Haahs** » Sáb Nov 07, 2009 13:29

Obrigado pela tentativa, Molina! Eita, esse limite realmente tá pegando mesmo, hehe.. tá faltando o "pulo do gato"!

Vou continuar pensando nele, mas se alguém por aí tiver mais idéias, sintam-se à vontade!

Ah, a resposta é: a = 4/3 e b = 2/3.

por **Lucio Carvalho** » Sáb Nov 07, 2009 17:41

Olá Haahs,
Certo! As constantes são:
a = 4/3
b = 2/3

Aqui vai uma possível resolução.

${lim}_{x\rightarrow1}=\frac{b.\sqrt[]{x+3}-a}{x-1}={lim}_{x\rightarrow1}=\frac{b.\sqrt[]{x+3}-a}{x-1}.\frac{b.\sqrt[]{x+3}+a}{b.\sqrt[]{x+3}+a}$

${lim}_{x\rightarrow1}=\frac{{b}^{2}(x+3)-{a}^{2}}{(x-1)(b.\sqrt[]{x+3}+a)}$

Em seguida construímos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:

${b}^{2}(x+3)-{a}^{2}=(x-1)$

$b.\sqrt[]{1+3}+a=6$

-----------------------------------------

${b}^{2}x+3{b}^{2}-{a}^{2}=x-1$

2b+a=6

-----------------------------------------------
Ficamos, assim, a saber que:

${b}^{2}=-(3{b}^{2}-{a}^{2})$

2b+a=6

--------------------------------------------

$4{b}^{2}={a}^{2}$

${b}^{2}=\frac{2b+a}{6}$

------------------------------------------

Assim:

a=2b

$6{b}^{2}-2b-2b=0$
$6{b}^{2}-4b=0$
b(6b-4)=0

Finalmente: b = 4/6 = 2/3
a = 2.b = 4/3

por **Haahs** » Seg Nov 09, 2009 02:00

Oi Lúcio! Muito obrigado pela resolução!

Agora me surgiram algumas dúvidas:

Lucio Carvalho escreveu:Em seguida construímos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:

${b}^{2}(x+3)-{a}^{2}=(x-1)$

$b.\sqrt[]{1+3}+a=6$

-----------------------------------------

${b}^{2}x+3{b}^{2}-{a}^{2}=x-1$

-----------------------------------------------

Não ficou claro pra mim o motivo de podermos igualar todo o numerador a (x-1), intuitivamente eu colocaria ele igual a 1, já que a questão diz que este limite é igual a $\frac{1}{6}$ , mas pela resposta encontrada esse raciocínio e´ errado. Será que você poderia explicar?

Obrigado!

por **uefs** » Sáb Abr 19, 2014 20:27

questão parecida como calcular

Estou resolvendo uma lista de cálculo e gostaria de uma ajuda de vocês. Como sou da área de biológicas está sendo um pouco complicado relembrar alguns conceitos. Duas questões em específico tem me tirado o sono (hehe!), já tentei resolver algumas vezes mas sempre empaco em algum lugar. Uma delas é a seguinte:

O enunciado quer que se encontre as constantes da função, de modo que:

1. $\lim_{x\rightarrow1} \frac{b\ \sqrt{x+3} -a}{x-1} = \frac{1}{6}$

Eu tentei resolver primeiramente tirando a constante b e colocando para fora, e em seguida multiplicando pelo conjugado $\frac{\sqrt{x+3}+a}}{\sqrt{x+3}+a}$ , chegando ao seguinte:

$\lim_{x\rightarrow1} \frac{b(x+3 - {a}^{2})}{(x-1)(\sqrt{x+3}+a)} = \frac{1}{6}$