Problema enolvendo conjuntos, demostração e provas

por **moyses** » Ter Mai 01, 2012 20:50

Olá gente beleza? Eu estava estudando teoria de conjuntos no Livro de Matemática "MATEMÀTICA AULA POR AULA", de Benigno Barreto Filho e Cláudio Xavier da Silva. Cheguei numa pergunta que não consigui interpreta-la .A minha duvida é de o que o problema ta querendo dizer? e como provar o que diz nessa pergunta 43 contida na pagina 38 desse livro que eu mencione acima?.
Bem Ai vai: 43 (ITA-SP) Sejam U um conjunto não-vazio e $A\subset U , B\subset U$ . Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intercecção e complementar, prove que:
I- SE $A\cap B = \varnothing$ , então $B\subset {A}^{C}$ .

II-SE $\frac{B}{{A}^{C}}=B\cap A$ .

e ai que está , gente eu nem sei como começar. O que o item II ta querendo dizer? e como provar o item I e o II? por favor me ajudem pois eu tentei e não consegui! *-)

PS- essa ${A}^{C}$ e o complemento do próprio conjunto, eu dei uma pesquisada na net porque eu tabem não sabia hehe. e o item dois tem um divisão do conjunto B pelo complemento do proprio conjunto A ? e isso mesmo? fica a duvida! falow desde já eu agradeço a todos faloww pessoal!

por **fraol** » Ter Mai 01, 2012 22:52

Boa noite,

Segue a minha resolução para sua avaliação:

I)

Como $A \cap B = \emptyset$ temos que se $x \in A => x \not \in B$ . (editei aqui p/ corrigir digitação)

$A^C => x \not \in A$ . Assim concluímos que $B \subset A^C$ .

II)

Suponho que a notação seja $B \setminus A^C = B \cap A$ . Aqui $B \setminus A^C$ significa

menos

, ou seja o conjunto dos elementos que estão em

e não estão em A^C

.

Assim $B \setminus A^C => x \in B$ e $x \not \in A^C$ .

Como em I) temos que todo

em

também está em A^C

então

$B \setminus A^C = \emptyset = A \cap B = B \cap A$ .

.

por **moyses** » Ter Mai 01, 2012 23:37

Teria com você exclicar melhor é por que é meio estrainho isso. Se a intersecção de A com B é igual a vazio como B estaria contido no conjunto complementar de A no Item I?

por **fraol** » Ter Mai 01, 2012 23:49

Se a interseção de A com B é vazia então A e B não tem elementos em comum, certo?

O complementar de A são todos os elementos do conjunto Universo que não estão em A, certo?

Se os elementos de B não estão em A então estão no complementar de A.

Caso a dúvida permaneça manda de volta pra gente discutir.

.

por **moyses** » Qua Mai 02, 2012 10:08

Ahh entendi ! eu pensava que a complementar do proprio A seria A-A

só que eu me enganei, como no enunciado diz que $A\subset U$ e tambem que $B\subset U$ então no
Item I e no II dois fica assim:(Explicarei como eu entendi heheh

)
I- SE $A\cap B = \varnothing$ , então como ${A}^{C} = U$ então $B\subset {A}^{C}\Rightarrow B\subset U$ então como ${A}^{C}=\left(X\in U |X\notin A \right)\Rightarrow U-A.$ então o que você me falou é verdade que o $B\subset {A}^{C}$ . Agora que eu entendi e compreendi. Agora o item II ficou mais facil de entender.
II- SE $\frac{B}{{A}^{C}} = B\cap A.$ então como ${A}^{C} = U$ então $B-U= \varnothing$ e como a $A\cap B$ ou $B\cap A = \varnothing$ eu entendi que essa igualdade é verdadeira !!!
VALEWW Por me exclicar direitinho fraol . Fica com DEUS

!