Inequação modular

[YuriFreire]

Realizei uma questão de inequação modular cuja sentença era dar o conjunto solução para a seguinte inequação:



- Ao encontrarmos as raízes temos os intervalos R para quais os valores nas expressões devem estar presentes. As raízes que encontrei foram -1 e 1/2.
- Ao confrontar valores de x para -1<x<1/2 encontrei x < 0, de modo que os valores de x < 0 que atendem ao intervalo citado seriam de ]-1;0[.
- Ao chegar ao conjunto solução que é a união dos intervalos que atendem a condição encontrei S = ]-1;0[U]2; infinito positivo[
- O gabarito oficial registra ]-Infinito;0[U]2;Infinito+[

Gostaria de saber porque os valores abaixo de -1 atendem ao conjunto solução.

Grato,

Yuri Freire

[Pessoa Estranha]

Olá!

Eu resolvi o exercício e consegui chegar à resposta. Vou colocar a minha resolução que talvez irá esclarecer a sua dúvida. Qualquer coisa, pode perguntar...

|x+1|<|2x-1| \rightarrow {|x+1|}^{2}<{|2x-1|}^{2} \rightarrow {x}^{2} + 2x + 1 < 4{x}^{2}-4x + 1 \rightarrow x(-3x+6)<0

Desculpa, mas o editor de fórmulas não está funcionando....Espero que entenda o que eu escrevi acima (eu elevei os dois lados ao quadrado).

Então, podemos fazer um estudo do sinal:

--------------------0+++++++++++++++++++ (para x)
+++++++++++++++++++++2----------------- (para (-3x+6))

Logo,

--------------------0++++++2------------------ (para (x(-3x+6)))

Assim, o intervalo que satisfaz é: ]-infinito,0[U]2,+infinito[.

[YuriFreire]

Fiz assim - < 0

Ai condicionei às retas de modo que quando o intervalo for entre -1/2 e 2 o primeiro módulo será positivo e o outro negativo ai quando colocamos a expressão para acharmos x vemos que x < 0, para x < 0 que atende ao intevalo -1/2 <x< 2 fica ]-1/2;0[

Eu entendi seu raciocínio vc utilizou a propriedade (x+a)(x-a)<0 e aplicou as possibilidades
Mas não entendi aonde eu errei no meu raciocínio

Grato,

Yuri Freire

[Pessoa Estranha]

Olá!

Dê uma olhadinha neste endereço: https://www.wolframalpha.com/input/?i=| ... x-1|+%3C+0

Estou tentando entender a sua resolução. Por favor, pode me dizer como consegui encontrar o -1/2 ?

Observando o gráfico dos dois módulos, temos: https://www.wolframalpha.com/input/?i=| ... and+|2x-1|

[YuriFreire]

Opa! Desculpe é 1/2 a outra raíz. Mesmo assim a solução na bate.

Eu peguei o exemplo de questão dessa referência

BARBONI, Ayrton; PAULETTE, Walter. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável. LTC, 2007. VitalBook file. Minha Biblioteca.

A foto em anexo dá o exemplo de resolução. Apenas apliquei conforme o texto

Grato,

Yuri Freire

[Pessoa Estranha]

Agora, sim, entendi!! Olha, dê uma olhadinha na sua resolução e acho que vai encontrar o erro. Provavelmente é problema de algum sinal ou de conta....

Veja:

De acordo com o método apresentado, temos o seguinte:

(1) Primeiro, marcamos as raízes de cada uma das expressões envolvidas na inequação. No caso são aqueles dois módulos. Como você mesmo disse, as raízes são -1 e 1/2. Então, devemos marcar na reta real estes valores.

------------------------(-1)-------------------------------(1/2)------------------------------

(2) Para valores menores que -1, temos que os dois módulos envolvidos são "negativos". Logo, devemos, neste intervalo, trabalhar com a seguinte inequação: -x - 1- (-2x + 1) < 0 ------> -x - 1 + 2x - 1 < 0 ------> x - 2 < 0 ------> x < 2. Assim, o conjunto solução da inequação para x < -1 é: ]-infinito, 2[.

(3) Analogamente, para valores entre as duas raízes (ente -1 e 1/2), temos que um dos módulos é "positivo" e, o outro, "negativo". Daí, temos que trabalhar, neste intervalo, com a seguinte inequação: x + 1 - (-2x + 1) < 0 ------> x + 1 + 2x - 1 < 0 -------> 3x < 0 --------> x < 0. Então, o conjunto solução para valores de x entre as duas raízes encontradas em (1) é: ]-infinito, 0[.

(4) Também da mesma forma, para valores maiores que 1/2, os dois módulos são "positivos". Assim, neste intervalo, devemos trabalha com: x + 1 - (2x - 1) < 0 ------> x + 1 - 2x + 1 < 0 ------> -x + 2 < 0 ------> -x < -2 ------> x > 2. Logo, o conjunto solução, neste intervalo, para a inequação é: ]2, +infinito[.

Bom, é no seguinte ponto que não ficou muito claro:

********************(0)****************************(2)--------------------------------------------------

********************(0)---------------------------------------------------------------------------------

--------------------(0)----------------------------(2)**************************************************

Você chegou nisso?

Conforme o método, o que devemos fazer aqui? Se fizermos a união, então o conjunto solução seria o conjunto dos reais, o que não faz sentido. Pelo que entendi, precisamos pensar assim: em (2), o conjunto solução é de -infinito até 2; em (3), o conjunto solução é de -infinito até 0. Como 0 < 2, não seria correto acrescentar os valores entre 0 e 2 como solução possíveis. Logo, temos que fazer a interseção neste caso, resultando em ]-infinito, 0[. Depois, em (4), vimos que o conjunto solução é de 2 até + infinito. Como não valores em comum com ]-infinito, 0[, podemos apenas fazer a união, resultando no conjunto solução final: ]-infinito, 0[ U ]2, +infinito[.

Acho que é isso.... O que acha?

[YuriFreire]

Entendi!! Resolvi aqui. Era erro de conta mesmo e interpretação dos resultados na reta R.
Valeu ai mesmo pela ajuda. Esse fórum é fundamental para quem está estudando matemática. Ainda mais em certas circunstâncias.

Obrigado!

Fica com Deus

Grato,

Yuri Freire