[INEQUAÇÂO] Inequação do tipo: (a+ x < b + x < c + x)

por **Diofanto** » Dom Fev 03, 2013 19:55

A inequação é a seguinte:

x + 1 < 5x + 2 < 3x + 4

Tentei fazer assim:

1º: x + 1 < 5x + 2

O que resultou em x > -1/4

2ª:

O que resultou em x < 1

Tenho o gabarito: $S = { x \in \Re | -1/4 < x \leq 1$

O problema é que não consigo fazer a intersecção para chegar na resposta final, e nao tenho certeza se meus cálculos estão corretos.

por **DanielFerreira** » Dom Fev 03, 2013 20:55

Diofanto,
boa noite!

Resolvendo por partes...

I:
$\\ x + 1 < 5x + 2 \\\\ x - 5x < 2 - 1 \\\\ - 4x < 1 \:\:\: \times (- 1 \\\\ 4x > - 1 \\\\ \boxed{x > - \frac{1}{4}}$

II:
$\\ 5x + 2 < 3x + 4 \\\\ 5x - 3x < 4 - 2 \\\\ 2x < 2 \\\\ \boxed{x < 1}$

Estudando os sinais:

___-____(- 1/4)____+_____________+___________
___-______________-______(+ 1)___+___________
___+____(- 1/4)____-______(+ 1)___+___________

$\boxed{\boxed{- \frac{1}{4} < x < 1}}$

por **Diofanto** » Dom Fev 03, 2013 21:46

danjr5,

Era essa dúvida mesmo. A resposta que tenho está errada apenas por um " menos igual".

Obrigado pela ajuda.

por **DanielFerreira** » Dom Fev 10, 2013 21:41

Não há de quê!

Até a próxima!

Daniel.

por **Diofanto** » Ter Fev 12, 2013 23:03

Preciso de ajuda com Inequações do segundo Grau:

O sistema é o seguinte:

$1 + 2x \geq 0$
$-4{x}^{2}- 8x - 3 < 0$

Eu até que resolvi, mas não bate com a minha folha de respostas

Aqui diz que a resposta é: $S = {x \in \Re | -1/2 \leq x < 1/2 \: ou \: x > 3/2}$

Minha resposta deu: $S = {x \in \Re | x \geq -1/2}$

Quero saber Qual a resposta correta. Eu sei que eu erro muito na hora de fazer a união ou a intersecção.

por **e8group** » Qua Fev 13, 2013 00:47

Vou chamar de

o conjunto constituído de todos elementos que satisfaz a primeira inequação ,e de

o conjunto constituído de todos elementos que satisfaz a segunda inequação estrita.A solução do sistema será um subconjunto que estar contido em

e

ao mesmo tempo.

Note que ,

$B = \{x\in \mathbb{R} : x \geq - \frac{-1}{2}\}$ , ok ?

Já para ,
$- 4x^2 - 8x - 3 < 0 \iff 4x^2 + 8x + 3 > 0 \iff x^2 + 2x + 3/4 > 0 \iff (x+1)^2 + 3/4 - 1 > 0 \iff (x+1)^2 - \frac{1}{4} > 0 \iff (x+1)^2 > \frac{1}{4} \iff |x+1| > \frac{1}{2}$ .

Retirando o módulo ,via definição $|x+1| = \begin{cases} x+1 ; x \geq -1 \\ - (x+1) ; x < - 1 \end{cases}$ .

Voltamos então onde paramos .

A pergunta é :

(i) Existe algum x em $(-\infty, -1 )$ para que $-(x+1) > \frac{1}{2}$ ?

(ii) Existe algum x em $[-1,+\infty)$ para que $x+1 > \frac{1}{2}$ ?

Para responder isto ,

(i) $-(x+1) > \frac{1}{2} \iff x+1 < - 1/2 \iff x < -1/2 -1 = -3/2$ . Portanto ,existe x em $(-\infty, -1 )$ : $-(x+1) > \frac{1}{2}$ , na verdade $\forall x \in (-\infty, -3/2)$ satisfaz a nossa pergunta .

(ii)

$x+1 > \frac{1}{2} \iff x > -1/2 \implies x+1 > \frac{1}{2} \iff x\in(-1/2 +\infty )$ Certo ?

Concluímos então que $C = (-\infty, -3/2) \cup(-1/2 +\infty )$

Logo , o conjunto solução do sistema é : $B \cap C = \{x\in \mathbb{R} : x \geq - \frac{-1}{2}\} = [-1/2, +\infty) \cap (-\infty, -3/2 ) \cup(-1/2 +\infty ) = (-1/2 , +\infty)$

Não sei onde errei ,se errei ... Espero que ajude .

por **DanielFerreira** » Qui Fev 14, 2013 23:37

Diofanto,
boa noite!
Abra um tópico por questão, ok?!

Só para confirmar a resposta do Santhiago!!

Equação I:

$\\ 1 + 2x \geq 0 \\\\ \boxed{\boxed{x \geq - \frac{1}{2}}}$

Equação II:

$\\ - 4x^2 - 8x - 3 < 0 \\ \Delta = 64 - 48 \\ \Delta = 16 \\\\ x = \frac{- 8 \pm 4}{8} \\\\ \boxed{x' = - \frac{3}{2}} \:\:\: e \:\:\: \boxed{x' = - \frac{1}{2}}$

Estudando os sinais da eq. II, $\boxed{\boxed{x < - \frac{3}{2} \cup x > - \frac{1}{2}}}$

Enfim, a intersecção...

___-________-__________(+ 1/2)_____+___________
___-___(- 1/3)_____+___(+ 1/2)___-___________
___+___(- 1/3)____-_____(+ 1/2)___+___________

$\boxed{\boxed{\boxed{x > - \frac{1}{2}}}}$