[Equações] Equação Exponencial com radical

por **RafaelPereira** » Dom Dez 02, 2012 20:36

Olá pessoal, tentei resolver a equação exponencial abaixo, mas não consegui. Como posso fazer para "eliminar" as bases e resolver a equação?

$\sqrt[]{\sqrt[3]{{\left(\frac{9}{25} \right)}^{-x+4}}}={\left(\sqrt[5]{0,1296} \right)}^{2x}$

Solução:

$\sqrt[6]{{\left(\frac{{3}^{2}}{{5}^{2}} \right)}^{-x+4}}={\left(\sqrt[5]{\frac{{2}^{4}.{3}^{4}}{{2}^{3}.{5}^{3}}}} \right)^{2x}$

$\sqrt[6]{{\left(\frac{3}{5} \right)}^{2\left(-x+4 \right)}}={\left(\sqrt[5]{\frac{{\left(2.3 \right)}^{4}}{{\left(2.5 \right)}^{3}}} \right)}^{2x}$

${\left(\frac{3}{5} \right)}^{\frac{2\left(-x+4 \right)}{6}}= {\left(\frac{{\left(2.3 \right)}^{4}}{{\left(2.5 \right)}^{3}} \right)}^{\frac{2x}{5}}$

${\left(\frac{3}{5} \right)}^{\frac{-x+4}{3}}= {\left(\frac{{\left(2.3 \right).\left(2.3 \right)}^{3}}{{\left(2.5 \right)}^{3}} \right)}^{\frac{2x}{5}}$

${\left(\frac{3}{5} \right)}^{\frac{-x+4}{3}}= {\left(\left(2.3 \right).{\left(\frac{2.3}{2.5} \right)}^{3}\right)}^{\frac{2x}{5}}$

${\left(\frac{3}{5} \right)}^{\frac{-x+4}{3}}= {\left(\left(2.3 \right).{\left(\frac{3}{5} \right)}^{3}\right)}^{\frac{2x}{5}}$

por **e8group** » Dom Dez 02, 2012 22:05

Note que ,

$0,1296 = \frac{3^4}{5^4} = \left( \frac{9}{25} \right)^2$ .

Reescrevendo a equação da seguinte forma ,

$\left(\frac{9}{25} \right )^{ \left(\frac{-x +4}{6} \right )} = \left( \frac{9}{25}\right )^{2/3} \cdot \left( \frac{9}{25}\right )^{-x/6} = \left( \frac{9}{25}\right )^{4x/5}$ .

Multiplicando ambos lados por ,

$\left( \frac{9}{25}\right )^{x/6}$ . Vamos obter ,

$\left( \frac{9}{25}\right )^{29x/30} = \left( \frac{9}{25}\right )^{2/3}$ .

Uma vez que as bases são iguais (e fixas) temos que seus respectivos expoentes são iguais ,então :

$29x/30 = 2/3 \therefore x = \frac{20}{29}$ .

por **RafaelPereira** » Seg Dez 03, 2012 00:50

Obrigado santhiago, pois pela sua resposta acabei percebendo qual foi o ponto em que eu estava errando e fazendo com que eu não achasse a solução.

Eu estava escrevendo a expressão ${\left(\sqrt[5]{0,1296} \right)}^{2x}$ , da forma ${\left(\sqrt[5]{\frac{1296}{1000}} \right)}^{2x} = {\left(\sqrt[5]{\frac{{2}^{4}.{3}^{4}}{{2}^{3}.{5}^{3}}} \right)}^{2x}$ ,o que está errado. A forma correta é ${\left(\sqrt[5]{\frac{1296}{10000}} \right)}^{2x} = {\left(\sqrt[5]{\frac{{2}^{4}.{3}^{4}}{{2}^{4}.{5}^{4}}} \right)}^{2x} = {\left(\sqrt[5]{\frac{{3}^{4}}{{5}^{4}}} \right)}^{2x} = {\left[\sqrt[5]{{\left(\frac{9}{25} \right)}^{2}} \right]}^{2x}$ .

Agora refiz os cálculos e bateu exatamente com o que você disse.

Vlw. Muito Obrigado.