ajuda?

por **Amandatkm** » Qui Mai 02, 2013 18:14

Três números estão em uma progressão aritmética(PA)crescente.O produto dos três é 66 e a soma deles é 18.Determine o proximo termo dessa progresão aritmética.
a)12
b)13
c)14
d)15
e)16
eu fiz=X*x*x=66
mas nao deu certo

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 18:26

O primeiro passo é identificar os três primeiros termos desta P.A ,e após isto, relacionar estes termos com seu produto e soma .Os termos de uma P.A cujo o primeiro termo vale

e razão

tem a seguinte configuração :

$x , x + r , x +2r , x + 3r , \hdots , x + (n-1)r$ .

Para encontrar

e

deveremos resolver os sistema : $\begin{cases} x(x+r)(x+2r) = 66 \\ x+(x+r)+(x+2r) = 18\end{cases}$ .

Tente concluir comente as dúvidas.

por **Amandatkm** » Qui Mai 02, 2013 18:40

x²*rx*x²*2rx=66
x²+rx+x²+2rx=18
é assim?

e agora?

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 19:43

Em cada equação há duas variáveis ,deveremos relacionar uma incógnita em função da outra com finalidade de cada equação apresentar apenas uma variável .Na segunda equação x + (x+r )+(x+2r) = 18

,podemos isolar "r" ,isto é , $x + (x+r )+(x+2r)= 18 \iff 3x +3r = 18 \iff 3(x+r) =18 \iff x+r = 6 \iff \boxed{r = 6-x}$ .

Agora , substituindo-se "r" na primeira equação que é x(x+r)(x+2r) = 66

,obtemos

6x(x + 2[6-x]) = 6x(x + 12 - 2x) = 6x(-x + 12) = 66

.Portanto ,o valor do primeiro termo da (P.A) corresponde a uma das raízes da equação do segundo grau -x^2 + 12x - 11 =0

.Consegue terminar ?

por **Amandatkm** » Qui Mai 02, 2013 20:04

pelos meus calculos deveria ficar
x(x[6+x])(x+2[6-x)=66
ao inves vc colocou 6x eu nao compreendi :S
Tirando essa parte..quando vc chega nesse valor:
6x(-x+12)=66
ficaria assim:?
-6x²+72x-66=0
x²-12x+11=0
sim?

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 20:13

Amandatkm escreveu:pelos meus calculos deveria ficar
x(x[6+x])(x+2[6-x)=66
ao inves vc colocou 6x eu nao compreendi :S

Note que

. Daí ,

$x(x+r)(x+2r) = 66 \implies x(6)(x+2r) = 66 \implies 6x(x+2r) = 66$

Mas , pela equação (*)

, temos

. Então ,

$6x(x+2r) = 66 \implies 6x(x +2[6-x]) =66$ .

Amandatkm escreveu:Tirando essa parte..quando vc chega nesse valor:
6x(-x+12)=66
ficaria assim:?
-6x²+72x-66=0
x²-12x+11=0
sim?

Sim ,está correto .

por **Amandatkm** » Qui Mai 02, 2013 20:39

porque X+R é igual a 6?
:S

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 20:53

Por favor , verifique a minha segunda resposta ao tópico .Se permanecer dúvidas ,post novamente .

por **Amandatkm** » Qui Mai 02, 2013 21:17

verifiquei que vc escreveu:
6x(x+12-2x)= 6x(-x+12)=66
poderia me dizer pq o X tornou-se negativo?
no final ficaria assim
x²+12x-11=66
não consegui resolver,visto que B²-4ac não da um numero que tenha raiz :/

por **e8group** » Qui Mai 02, 2013 22:18

Amandatkm escreveu:verifiquei que vc escreveu:
6x(x+12-2x)= 6x(-x+12)=66
poderia me dizer pq o X tornou-se negativo?

Acredito que você refere-se sobre x+12-2x

se transformar em -x +12

.Caso seja esta sua dúvida ,note que : x + 12 - 2x = [x +(-2x) ] + 12

.A expressão que está dentro []é equivalente a

;logo

.E ,portanto 6x(x+12-2x)= 6x(-x+12)=66

.

Amandatkm escreveu:no final ficaria assim
x²+12x-11=66
não consegui resolver,visto que B²-4ac não da um numero que tenha raiz :/

x

Não ,observando a minha segunda resposta ao tópico ,a equação quadrática é -x^2 + 12x -11 = 0

ou (multiplicando todas parcelas por

),

.

Acompanhe , como vimos 6x(-x+12)=66

.Assim ,dividindo-se ambos membros por

,segue

$\frac{ 6x(-x+12)}{6} = \frac{66}{6}$

Simplificando ,

x(-x+12) = 11

.

Por propriedade distributiva x(-x+12) = -x^2 + 12x

. Assim ,

$x(-x+12) = 11 \iff -x^2 + 12x = 11$ .E finalmente ,somando-se

em ambos membros , resulta

-x^2 + 12x -11 = 0

Tente encontrar as raízes da equação ,comente as dúvidas

por **Amandatkm** » Sex Mai 03, 2013 14:00

minhas raizes deram -1 e-11
eu fiz errado?
multipliquei a equação por -1,visto que X² nao pode ficar negativo'

por **e8group** » Sex Mai 03, 2013 15:13

Amandatkm escreveu:minhas raizes deram -1 e-11
eu fiz errado?

Devemos testar estes valores na equação .Lembrando que,

x^2 -12x + 11 = 0

.Então : $(-1)^2 - 12(-1) +11 = 1 +12 + 11 \neq 0$ e $(-11)^2 - 12(-11) + 11 = 11^2 + 12 \cdot 12 + 11 \neq 0$ .Como podemos ver -1,-11

não é solução da equação . Infelizmente você errou o sinal das raízes .Note que : (1)^2 - 12(1) +11 = 1 - 12 + 11 = 12 - 12 = 0

e $(11)^2 - 12(11) +11 = 11^2 -12(11) + 11 = 11 (1 + 11) - 12 \cdot 11 = 11 \ccot 12 - 11 \cdot 12 = 0$ .

Amandatkm escreveu:multipliquei a equação por -1,visto que X² nao pode ficar negativo'

Na verdade , sempre x^2

é um número positivo para qualquer $x\neq 0$ .O fato de multiplicar a equação por

não irá influenciar na solução da equação muito menos em x^2

ser negativo que é um absurdo .

Tente concluir e comente as dúvidas .

por **Amandatkm** » Sex Mai 03, 2013 18:25

Fiz novamente e realmente as raízes deram 1 e 11..

substitui o valor de 1 pelo R na formula de adição:
x+(x+r)+(x+2r)=18
x+x+1+x+2=18
3x=15
x=5
E realmente 5+6+7=18
porem 5*6*7 nao da 66
esta é minha duvida :/

por **e8group** » Sáb Mai 04, 2013 02:59

Amandatkm escreveu:iz novamente e realmente as raízes deram 1 e 11..
substitui o valor de 1 pelo R na formula de adição:
x+(x+r)+(x+2r)=18
x+x+1+x+2=18
3x=15
x=5
E realmente 5+6+7=18
porem 5*6*7 nao da 66
esta é minha duvida :/

Cuidado !

Lembre-se que já vimos que r = 6 - x