[INEQUAÇÃO] mais uma...

por **danielrodrigues** » Seg Nov 05, 2012 23:49

Olá galera...eu novamente...tentei resolver essa inequação mas nao fui muito longe..
${2}^{x+2} + {2}^{-1-x} \leq 3$
Fiz a separação dos numeros elevados e ficou assim
${2}^{x}.{2}^{2} + {2}^{-1}.{2}^{-x} \leq 3$
certo...dai substitui
${2}^{x}$ por y ficou assim: $4y+\frac{1}{2}.{y}^{-1} \leq 3$
após o MMC
ficou: ${8y}^{2} - 6y +1 \leq 0$
daí apliquei bhaskara e obtive:
$y' \leq 1/2$ e $y" \leq1/4$
não sei se o procedimento está incorreto...só sei que cheguei até aí e não soube continuar...
se vcs puderem me ajudar...
Obrigado

por **MarceloFantini** » Ter Nov 06, 2012 01:44

Até a inequação $8y^2 -6y +1 \leq 0$ está OK. Agora calculando o discriminante temos $\Delta = (-6)^2 -4 (8) (1) = 36 - 32 = 4$ , daí $y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{16}$ , que leva a $\frac{8}{16}$ e $\frac{4}{16}$ como raízes.

Como a parábola está virada de "boca para cima", ela será negativa entre as raízes. Logo teremos que, para que a inequação seja satisfeita, a variável está no intervalo $\left[ \frac{4}{16}, \frac{8}{16} \right]$ , ou seja, $\frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 2^{-2} \leq y \leq \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ .

Voltando à variável original, temos que $2^{-2} \leq 2^x \leq 2^{-1}$ , de onde concluímos que $1 \leq 2^{x+2} \leq 2$ . Finalmente, $0 \leq x+2 \leq 1$ e portanto $-2 \leq x \leq -1$ .