Equações Exponenciais

por **AlexKidd** » Dom Ago 12, 2012 12:40

Resolva os sistemas:
a)
5^x+y=1
3^x.9^x=1/9

b)
2^2(x²-y)=100.5^2(y-x²)
x+y=5

por **DanielFerreira** » Dom Ago 12, 2012 12:53

Alex,
seja bem-vindo!
De acordo com as regras do fórum, deve expor as suas tentativas.
Sugiro que dê uma lida nas regras do fórum.

Quanto a questão, não ficou clara, mas tentarei ajudar...
$\begin{cases}5^x + y = 1 \\ 3^x \cdot 9^x = \frac{1}{9}\end{cases}$

II:
$\\3^x \cdot 9^x = \frac{1}{9} \\\\ 3^x \cdot (3^2)^x = 9^{- 1} \\\\ 3^x \cdot 3^{2x} = 3^{- 2} \\\\ 3^{3x} = 3^{- 2} \\\\ \boxed{x = - \frac{2}{3}}$

Como disse anteriormente, o sistema não ficou muito claro (primeira equação), então agora basta vc substituir o valor de

na outra equação e encontrar

.

Espero ter ajudado!!

Daniel F.

por **AlexKidd** » Dom Ago 12, 2012 13:07

A sim coompreendo,desculpe pelo meu erro,fiz tantas tentativas...Mas enfim.
Não sei o que ocorreu,não percebi que formula nao foi gerada!
Para o exercicio 'a' ficar mais claro:
5^x.5^y = 1

3^x.9^y=1/9

Minha 1° tentativa:
3^x . 3^2^y + 5^x . 5^y = 2

15^x . 45^y = 2

Porém percebi que não eliminei o x ou y,tentei deixar o y=1 pra ver se conseguiria algum resultado...

3^x . 3^1 . 3^2 = 1

3^x . 3 . 9 = 1

3^x . 27 = 1

3^x = 1/27

,se continuar nessa segunda tentativa terei algum problema?

Acho que você acabou me ajudando de uma maneira indireta também,me lembrei que poderia resolver tudo separado;coisa que não tinha lembrado antes

-
Exercicio b=
Esse preferi enviar em imagem:

Tentei fazer da mesma forma da 1° tentativa da questão 'a',depois também tentei de jeito prox a segunda tentativa porém sem sucesso,em breve posto aqui uma foto de uma folha,porém agora tenho que sair.

por **DanielFerreira** » Dom Ago 12, 2012 15:07

Alex,
confesso que não entendi sua tentativa. Vou te apresentar a forma que acho mais simples de resolver, veja:
$\\\begin{cases} 5^x \cdot 5^y = 1 \\ 3^x \cdot 9^y = \frac{1}{9} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} 5^x \cdot 5^y = 5^0 \\ 3^x \cdot 3^{2y} = 3^{- 2} \end{cases} \\\\\\\begin{cases} 5^{(x + y)} = 5^0 \\ 3^{(x + 2y)} = 3^{- 2} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + 2y = - 2 \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} x + y = 0 \,\, \times (- 2) \\ x + 2y = - 2 \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} - 2x - 2y = 0 \\ x + 2y = - 2 \end{cases} \\ -------- \\ - 2x + x = 0 - 2 \\ - x = - 2 \\ \boxed{\boxed{x = 2}}$

Como

, temos:
$2 + y = 0 \\ \boxed{\boxed{y = - 2}}$

por **AlexKidd** » Dom Ago 12, 2012 20:28

E compreendo,minha matematica não e das melhores,até por que na hora em que fiz isso e digitei estava meio sem tempo e meio cansado já.
Mas de qualquer forma obrigado.

A segunda estou tentando fazer ainda,meu orgulho me dominou nela!

por **DanielFerreira** » Seg Ago 27, 2012 20:42

Olá AlexKidd,
boa noite!
Desculpe a demora. :-D

Achei a questão bem interessante. É um 'jogo' de propriedades!
Segue a solução:

$\\ \boxed{2^{2(x^2 - y)} = 100 \cdot 5^{2(y - x^2)}} \\\\ 2^{2(x^2 - y)} = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 5^{2(y - x^2)} \\\\ 2^{2x^2} \cdot 2^{- 2y} = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 5^{2y} \cdot 5^{- 2x^2} \\\\ 2^{2x^2} \cdot \frac{1}{2^{2y}} = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 5^{2y} \cdot \frac{1}{5^{2x^2}} \\\\ 2^{2x^2} \cdot 5^{2x^2} = (2^2 \cdot 5^2) \cdot (2^{2y} \cdot 5^{2y}) \\\\ (2 \cdot 5)^{2x^2} = (2 \cdot 5)^2 \cdot (2 \cdot 5)^{2y} \\\\ 10^{2x^2} = 10^2 \cdot 10^{2y} \\\\ 10^{2x^2} = 10^{2 + 2y} \\\\ \boxed{\boxed{2x^2 = 2 + 2y}}$

Agora basta resolver o sistema:
$\begin{cases} 2x^2 = 2 + 2y \\ x + y = 5 \end{cases}$

Estarei aguardando os valores encontrados, e, possíveis dúvidas.

Até breve.

Daniel F.

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