mat para o fundamental: prova

por **Victor Gabriel** » Ter Abr 23, 2013 18:15

por **ant_dii** » Qua Abr 24, 2013 14:57

Victor Gabriel escreveu:Olá pessoal tem alguém que possa mim dizer se estou certo ou não.
Olha só. A questão pedi para mim prova que:
$\left|a \right|-\left|b \right|\leq\left|a-b \right|\leq\left|a \right|+\left|b \right|$

Meu pensamento foi o seguinte:
pegando um "a" qualquer e um "b" qualquer pertencente aos inteiros ou seja:
a=-2 e b=5 , fazendo assim.

$\left|-2 \right|-\left|5 \right|\leq\left|-2-5 \right|\leq\left|-2 \right|+\left|5 \right|$

$2-5\leq7\leq2+5$

$-3\leq7\leq7$

e ai pessoal estou certo?

Bom, na verdade uma prova deve ser livre de um exemplo. Esse exemplo serve pra você perceber a relação, mas pode enganar pois se acontece de você escolher alguns números e sempre ser verdadeira e acaba que você conclui ser verdadeira ou em algum momento você escolhe outro número e falha e acaba que você conclui ser falsa.

Neste caso, ela sempre será verdadeira pra qualquer número que você escolher.

Veja o porque de fato:
Primeiro, considere que $|a+b|\leq|a|+|b|$
Então faça um lado de cada vez da desigualdade: vamos provar então que $|a-b|\leq|a|+|b|$
Veja
$|a-b|= |a+(-b)| \leq |a|+|(-b)|=|a|+|b|$

ou seja, $|a-b| \leq |a|+|b|$

Por outro lado, você tem que provar $|a |-|b|\leq |a-b|$
Veja
$|a|=|b+(a-b)|\leq |b|+|a-b|$

ou seja, $|a|-|b|\leq |a-b|$ .

Agora, podemos concluir que de fato temos sempre
$|a|-|b|\leq |a-b|\leq|a|+|b|$

Como queríamos mostrar.