Fatoração

por **BlackSabbathRules** » Dom Jun 22, 2014 04:56

Fatore:

.
Resposta: (a+3)^2(a^2+1)

por **young_jedi** » Dom Jun 22, 2014 14:04

por **e8group** » Dom Jun 22, 2014 14:52

Deixe

.

Proposta 1 :

Alguns resultados uteis :

(i)

Se r_1

é uma raiz de p_4

então existe um polinômio de grau 3 tal que o seu produto por x- r_1

dá

. Descobrindo-se uma raiz deste polinômio de grau 3 , o processo contínua ... obterá um polinômio de grau 2 tal que seu produto por x- r_2

dá exatamente este polinômio de grau 3 . O método termina quando o polinômio não admitir raízes reais .

De forma pratica , estes polinômios de grau menor que o polinômio original em estudo pode ser obtido por sua divisão pelo termo x - r

. A titulo de exemplificar ,

P_3(x) = (x-1)(x-3)(x+2)

é exatamente 6-5 x-2 x^2+x^3

. Dividindo 6-5 x-2 x^2+x^3

por

obterá

, encontrando as raízes deste polinômio tem-se ele escrito na forma fatorada (x-3)(x+2)

.Juntando tudo tem-se ]6-5 x-2 x^2+x^3 = (x-1)(x-3)(x+2)

.

(ii)

Lemma :

Seja $p_n(x) = a_0 + a_1 x + \hdots + a_n x^n$ com $a_i \in \mathbb{Z} , i=1, \hdots , n$ e $a_0 \cdot a_n \neq 0$ . Suponha que $r \neq 0$ é uma raiz inteira deste polinômio , então

divide

.

De fato :

Por hip. p(r) = 0

o que implica que $a_0 + a_1 r + \hdots + a_n r^n = 0$

o que implica que $a_0 = -r(a_1 + \hdots + a_n r^{n-1})$ . Desde que $a,b \in \mathbb{Z} \implies \begin{cases} a\cdot b \\ a+b \end{cases} \in \mathbb{Z}$ , então $\frac{a_0}{r} \in \mathbb{r} \in \mathbb{Z}$

Dentro da proposta 1 vamos usar (ii) para investigar se p(x)

admite uma raiz inteira .

Suponha que exista

inteiro t.q , p_3(r) = 0

, como todos os coef. de p_4

são positivos , então só pode ser r < 0

. Pergunta : Quais os divisores negativos de

?

Analisando os casos possíveis -1,-3,-9 obterá que

$p_4(-1) = (-1)^4 + 6(-1)^3 +10(-1)^2 +6(-1) + 9 = 1 -6 +10 -6 + 3 = 2 \neq 0$

$p_4(-3) = (-3)^4 + 6(-3)^3 +10(-3)^2 +6(-3) + 3 = (-3)^2[ \underbrace{(-3)^2 + 6(-3) +10 -1}_{9-18 +10 -1 = 0 } ] = 0$ .

Portanto

é uma raiz de p_4

. Dividindo p_4

por

obterá

.

Podemos também supor que exista

inteiro t.q

raiz de

. Logo

divide

(note que r < 0 )

Tem-se que $(-3)^3 + 3(-3)^2 + (-3) + 3 = (-3)[\underbrace{(-3)^2 + 3(-3) + 1 + -1}_{0}] = 0$ . Dividindo-se

x^3 + 3x^2 +x + 3

por

obterá

. Como

não admite raízes reais então o processo finaliza-se e tem-se a forma fatorada requerida .

Proposta 2

Dado um polinômio

de grau

, $p(x) = \sum_{k=0}^n \alpha_i x^i$ e que se sabe que

é a sua raiz . Escreveremos

sob a seguinte forma $\sum_{k=0}^n \alpha_i x^i = \sum_{i}^n q_i(x)$ onde

q_i

são polinômios tais que $q_0 , \hdots , q_n$ compartilham a mesma raiz real

, i.e ,

e além disso eles cumprem com

$deg(p) = n = \sum_{i=0}^n deg(q_i)$ . A vantagem é que alguns dos q_i

certamente possuem grau menor que n (possa ser que todos q_i possuem grau n ) o que facilita determinar outra raiz de cada polinômio .

Seja p_4(x) = x^4 + 6x^3 +10x^2 + 6x + 9