Será que algum gênio resolve isso?

[BrenoNaval]

A raiz quadrada de um número P é igual a x e o resto é o maior possível.A raiz cúbica de um número S é igual a x e o resto também é o maior possível.Se a soma desses restos é 288,qual é a soma dos dígitos do número S?
Resposta: 27

Esse exercício foi retirado do livro Praticando Aritmética do capítulo de Radiciação.
Para facilitar o entendimento,de primeira mão irei informar a vocês alguns dados a parte.
Teorema 1: ''O maior resto que se pode encontrar na extração da raiz quadrada de um número natural N é igual ao dobro da raiz.''
Ex.:Tome A=8 ,o maior quadrado perfeito em 8=>4=2²
Logo o maior resto=3²-1-2²=2.2

Teorema 2:''O maior resto que se pode encontrar no extração da raiz cúbica de um número N é igual ao triplo do quadrado da raiz mais o triplo da raiz.''
ex.:Tome S=26=3³-1 ,o maior cubo perfeito em 26=>8=2³
Logo o maior resto=3³-1-2³=3.2²+3.2

Tentei utilizar esses dados na questão mais resultou em uma equação muito complexa. Resposta da questão:27

[Russman]

De que livro são esses Teoremas?

[BrenoNaval]

praticando a aritmética josé carlos admo lacerda-Capítulo de radiciação

[young_jedi]

se x é raiz de P e sobra um resto então



para que o resto seja o maior possivel temos então que



portanto o resto sera



do mesmo modo







portanto a soma dos restor sera







resolendo por baskara encontraremos que



ou

como x deve ser positivo então a solução é 9 portanto



portanto a soma dos algarismos sera

[BrenoNaval]

Resposta correta.
Eu cheguei a ter esse pensamento,no entanto pelo motivo de o livro na qual eu estou resolvendo(praticando aritmética) ter apenas a formula 2x e 3y²+3y eu não cheguei a conclusão de que x²<p<(x+1)² ou que Y³<P<(Y+1)³,no caso dessa questão especifica que que X e Y serão iguais.
Contudo, muito Obrigado por sua ajuda.