[Quantidade de divisores positivos]

por **Gustavo Gomes** » Seg Dez 17, 2012 22:44

Olá, pessoal.

Qual o número total de divisores positivos de 10! ?

A resposta é 270.

Pensei na decomposição em fatores primos:

10! = ${2}^{8}.{3}^{4}.{5}^{2}.7$ , mas daí não consegui enumerar os divisores.....

Grato.

por **timoteo** » Ter Dez 18, 2012 00:37

boa noite.

some a cada expoente o numero 1 e depois multiplique todos os expoentes. assim:

${2}^{8 + 1}.{3}^{4 + 1}.{5}^{2 + 1}.{7}^{1 + 1} = {2}^{9}.{3}^{5}.{5}^{3}.{7}^{2} multiplicando o expoente fica: 9.5.3.2=270$ .

isso ocorre pois em cada conjunto de divisores temos os múltiplos de cada primo e é claro o numero um em cada um desses conjuntos. por isso soma-se o um a cada expoente!