[Teoria dos Grupos] Derivar Teorema

[Imscatman]

Olá! Faz uns anos que não posto aqui, hehe.
Estou encarando o Introduction to Logic, do Patrick Suppes (pdf: http://tinyurl.com/oyytpee).
E na página 113 do livro (131 do pdf), 5ª questão, se pede o seguinte:

Com base nos três seguintes axiomas, prove o teorema :

Axioma 1:
Axioma 2:
Axioma 3:

Isto é, dada Associatividade (axioma 1) e os outros 2 axiomas, demonstrar a existência do "elemento identidade à direita". Se não estou cometendo algum erro muito estúpido, esse exercício parece dificílimo. Já passei umas dez horas tentando de tudo: substituições de iguais por iguais; fazer os axiomas 2 e 3 se tornarem e , respectivamente; prova por absurdo. Não parece haver maneira de sair dos para um existencial puro , que é o que se pede. Infelizmente não dá pra detalhar aqui a tentativa de derivação. O núcleo é:




E pelo Axioma 3:




Nesse ponto não posso quantificar nem existencialmente, nem universalmente. O subscrito em (onde é um nome ambíguo derivado de , e o subscrito indica a dependência de , que ocorria livre na fórmula original -- além disso, precisa ser diferente de , que ocorre antes; regras de em Suppes, rs) me impede de simplesmente -quantificar sobre e chegar no resultado procurado , e daí para . Tampouco parece ajudar qualquer coisa a partir daqui:



E daí brincando com o axioma 1. Não consigo provar que , e talvez isso ajudaria.
Talvez inserir no meio e fazer alguma coisa ajude. Mas não sei o quê... Preciso de uma fórmula , sem subscrito, mas os axiomas parecem incapazes de produzi-la. Estou especialmente frustrado, porque esse parece ser um passo chave para usar todo o poder dos axiomas. Sigo pensando...

[Imscatman]

Salvo erro, achei o caminho. É mesmo uma dessas escolhas dificílimas de substituição.

Do Axioma 3 vem:

Do Axioma 3 também vem:

Do Axioma 2 vem:

Com essas peças à mão, traz-se do Axioma 1 exatamente essas substituições:




Usa-se o Axioma 1 novamente, para arrumar os parênteses idealmente, ficando assim:



Então, olhando para as igualdades iniciais, faz-se as substituições estrategicamente:





Axioma 1 para parênteses, novamente; e a substituição final:




Agora o subscrito não impede de quantificar o da fórmula. E feito!


Q. E. D.

Pra achar esse caminho, fiquei testando o encaixe das fórmulas como se fossem peças de lego.
Exercício mais difícil que já fiz, putz.
Bonito vai ser se alguém mostrar que tem algum erro, hehe. Mas, por favor!