Álgebra linear - Subespaço Gerado

por **nietzsche** » Sex Jan 06, 2012 19:48

Alguém poderia me ajudar com o seguinte problema?

Sejam ${W}_{1}, {W}_{2}, ..., {W}_{k}$ subespaços de um espaço vetorial

.

Mostre que
$<\bigcup_{i=1}^{k}{W}_{k}> \subset { W}_{1} + {W}_{2} + ... + {W}_{k}$
onde
$<\bigcup_{i=1}^{k}{W}_{k}>$ é o subespaço gerado pela união finita dos subespaços ${W}_{i}$
e ${ W}_{1} + {W}_{2} + ... + {W}_{k} =$ { $w_{1} + w_{2} + ... + w_{k} /w_{i} \in W_{i} }$ }.

Agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Seg Jan 09, 2012 19:07

nietzsche escreveu:Sejam ${W}_{1}$ , ${W}_{2}$ , ..., ${W}_{k}$ subespaços de um espaço vetorial V.

Mostre que
$<\bigcup_{i=1}^{k}{W}_{k}> \, \subset { W}_{1} + {W}_{2} + \cdots + {W}_{k}$
onde
$<\bigcup_{i=1}^{k}{W}_{k}>$ é o subespaço gerado pela união finita dos subespaços ${W}_{i}$
e ${ W}_{1} + {W}_{2} + \cdots + {W}_{k} = { w_{1} + w_{2} + \cdots + w_{k} /w_{i} \in W_{i} } }$ .

Lembre-se que para provar que $X\subset Y$ , devemos provar que para todo $x\in X$ , temos que $x\in Y$ .

Seja $\vec{w} \in \, <\bigcup_{i=1}^{k}{W}_{i}>$ .

Como $\vec{w}$ pertence a união de todos os W_i

(com i=1, 2, ..., k), então ele pertence a pelo menos um desses conjuntos.

Suponha, sem perda de generalidade, que esse conjunto seja o W_j

, sendo $1 \leq j \leq k$ . Ou seja, suponha que temos $\vec{w} \in W_j$ .

Como $\vec{w} \in W_j$ , temos que $\vec{w} \in W_1 + W_2 + \cdots + W_k$ , já que podemos escrever:

$\vec{w} = \underbrace{\vec{0} + \vec{0} + \cdots}_{\textrm{de 1 at\'e j-1}} + \vec{w} + \underbrace{\cdots + \vec{0} + \vec{0}}_{\textrm{de j+1 at\'e k}}$ , lembrando que $\vec{0}\in W_i$ com i=1, 2, ..., j-1, j+1, ..., k.

Como o $\vec{w}$ escolhido foi qualquer, podemos concluir que:

$<\bigcup_{i=1}^{k}{W}_{i}> \, \subset {W}_{1} + {W}_{2} + \cdots + {W}_{k}$