[Dúvida] em questão de subespaço com sistema linear

por **Kabection** » Dom Jul 14, 2013 00:40

Olá a todos, estava tentando resolver essa questão que a princípio achei fácil, mas depois de pensar um pouco mais, não cheguei a conclusão final.

O enunciado é:

1) Determinar se o seguinte conjunto é subespaço de R³: W = { (a1,a2,a3) | a1=3a2 e a3=-a2 }

Minha resposta foi:

R = W não é subespaço pois, pela propriedade 2 de subespaço, u + v pertence a W. Já para esse caso:

Dados u,v pertencentes a W => u = ( 3(a2), (a1)/3 , -(a1)/3 ) e v = ( 3(b2) , (b1)/3 , -(b1)/3 ) => u+v = (3(a2+b2) , (a1+b1)/3 , -(a1+b1)/3 ) .

Gostaria de saber, se pelo fato de o sistema não ser determinado, o W não poderia ser subespaço vetorial, pois nesse caso a2 = a1/3 e também a2 = -a3

Agradeço a atenção.

por **e8group** » Dom Jul 14, 2013 12:41

Acho mais fácil reescrever o conjunto dado da seguinte forma $W = \{(3a,a,-a) = a(3,1,-1) ; a \in \mathbb{R}\}$ (por simplicidade troquei "a_2 " por "a" ) que é o cojunto de todos os múltiplos de

.Afirmamos que

é subespaço do $\mathbb{R}^3$ .De fato :

(1)

Designando $O_{\mathbb{R}^3}$ o vetor nulo do $\mathbb{R}^3$ . Claramente ,

$O_{\mathbb{R}^3} \in W$ (deixo a cargo de você demonstrar isto)

(2)

Dados $u =(3\alpha , \alpha , - \alpha ) , v = (3\beta, \beta , -\beta ) \in W$ .Temos :

$u+v = (3\alpha + 3\beta , \alpha +\beta , - \alpha - \beta ) = (3(\alpha + \beta) ,\alpha +\beta, -(\alpha + \beta)) =\\ \underbrace{[\alpha + \beta]}_{\in \mathbb{R}}]\cdot (3,1,-1) \in W$ .

(3)

Agora basta mostrar que para todo escalar $\zeta$ e vetor $k = (3y,y,-y) \in W$ tem-se $\zeta \cdot k \in W$ .Tente fazer !!

OBS.: O sistema que você mencionou é possível e indeterminado .Isto já era de ser esperado .Como vemos em (2) ,

não exprimir-se de forma única como $\alpha + \beta$ . Pondo $\alpha = a - \beta$ ,para cada escolha arbitrária $\beta$ , obtemos um novo número $\alpha$ que somado a $\beta$ resulta

.

por **Kabection** » Seg Jul 15, 2013 00:00

Obrigado santhiago . Realmente o que estava me confundindo foi esse sistema, mas desse jeito que você fez (reescrevendo o sistema) ficou bem mais claro e fácil de resolver essa questão. Vlw msm.

Completando a resposta:

(1)

Designando $O_{\mathbb{R}^3}$ o vetor nulo do $\mathbb{R}^3$ . Claramente ,

$O_{\mathbb{R}^3} \in W$ , pois quando $a = 0 => a(3, 1, -1) = (0,0,0) = O_{\mathbb{R}^3}$

(2)

Provado acima ^

(3)

Agora basta mostrar que para todo escalar $\zeta$ e vetor $k = (3y,y,-y) \in W$ tem-se $\zeta \cdot k \in W = (\zeta \cdot(3y) , \zeta\cdot y , - \zeta y )=(3\cdot(\zeta y),(\zeta \cdot y) , - (\zeta \cdot y)) = (\zeta y) \cdot (3,1,-1) \in W$ ,
para todo $\zeta$ e