Base ortogonal

por **Danilo** » Sáb Jun 11, 2016 22:57

Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Seja W o espaço ortogonal de ${R}^{4}$ ortogonal a u1 = (1,1,2,2) e u2 = (0,1,2,-1). Encontre uma base ortogonal e uma base ortonormal de W. Sei que se eu encontrar uma base ortogonal para encontrar uma base ortonormal é só normalizar, certo?

Não sei como encontrar uma base ortogonal. Sei que para que dois vetores sejam ortogonais o produto interno entre eles deve ser zero. Mas não estou conseguindo usar essa informação para resolver o exercício. Grato quem puder ajudar.

por **DanielFerreira** » Dom Jun 12, 2016 17:24

Danilo escreveu:Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Seja W o espaço ortogonal de ${R}^{4}$ ortogonal a u1 = (1,1,2,2) e u2 = (0,1,2,-1). Encontre uma base ortogonal e uma base ortonormal de W. Sei que se eu encontrar uma base ortogonal para encontrar uma base ortonormal é só normalizar, certo?

Olá Danilo, boa tarde!

Pensei no seguinte: no $\mathbb{R}^2$ , a base canônica é formada por (1, 0), (0, 1)

; No $\mathbb{R}^3$ , a base canônica é formada por (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

. Então no $\mathbb{R}^4$ , a base deverá ser formada por u_1, u_2, u_3, u_4

, desde que sejam L.I.

Encontremos u_3

:

Seja

. Se a base é ortogonal, então $u_3 \cdot u_2 = 0$ e $u_3 \cdot u_1 = 0$ . Desta condição chegamos em $\begin{cases} a + b + 2c + 2d = 0 \\ b + 2c - d = 0 \end{cases}$ ; como pode notar, trata-se de um sistema indeterminado (escolha uma solução).

Encontremos u_4

:

Seja

. Se a base é ortogonal, então $u_4 \cdot u_3 = 0$ , $u_4 \cdot u_2 = 0$ e $u_4 \cdot u_1 = 0$ ... (escolha uma solução).

Se u_1

e

fossem ortogonais, teríamos concluído o exercício; mas não são, e, para torná-los ortogonais podemos aplicar o Processo de Gram-Schmidt.

Conhece esse Processo?

por **Danilo** » Dom Jun 12, 2016 17:54

DanielFerreira escreveu:
Danilo escreveu:Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Encontremos :

Se e fossem ortogonais, teríamos concluído o exercício; mas não são, e, para torná-los ortogonais podemos aplicar o Processo de Gram-Schmidt.

Conhece esse Processo?

Conheço! Mas não sei como aplicá-lo no exercício.

Base ortogonal

Base ortogonal

Base ortogonal

Re: Base ortogonal

Re: Base ortogonal

Quem está online