AXIOMAS DO ESPAÇO VETORIAL

por **nandooliver008** » Qui Nov 06, 2014 02:45

GOSTARIA DE SABER EM QUAL AXIOMA O SEGUINTE CANDIDATO A ESPAÇO VETORIAL FALHA
O ESPAÇO É O R3
A SOMA É DEFINIDA POR (X,Y,Z)+(X',Y',Z')=(X+X',Y+Y',Z+Z')
E A MULTIPLICAÇÃO POR K(X,Y,Z)= (KX,Y,Z)
TENTEI FAZER MAS TODOS OS AXIOMAS DERAM CERTO.
TAMBÉM GOSTARIA DE SABER SE O CONJUNTO DE MATRIZES DO TIPO
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix}$

É ESPAÇO VETORIAL

por **e8group** » Qui Nov 06, 2014 10:56

Como a soma definida é a usual do espaço $\mathbb{R}^n$ . É fácil verificar que a "soma " está bem definida e os axiomas relativos a tal operação estão ok , pode verificar . Agora como o multiplicação por escalar definida de forma não usual é importante ter atenção . Sugiro que check a distributividade , i.e verificar se $(a+b)v = av + bv , \forall v \in \mathbb{R}^3 , \forall a,b \in \mathbb{R}$ .

Em relação ao conjunto formado por tal matrizes , pelo que uma de suas entradas é fixa e vale 1 , claramente este conjunto não é munido da matriz nula .

por **nandooliver008** » Qui Nov 06, 2014 13:09

santhiago escreveu:Como a soma definida é a usual do espaço $\mathbb{R}^n$ . É fácil verificar que a "soma " está bem definida e os axiomas relativos a tal operação estão ok , pode verificar . Agora como o multiplicação por escalar definida de forma não usual é importante ter atenção . Sugiro que check a distributividade , i.e verificar se $(a+b)v = av + bv , \forall v \in \mathbb{R}^3 , \forall a,b \in \mathbb{R}$ .

Em relação ao conjunto formado por tal matrizes , pelo que uma de suas entradas é fixa e vale 1 , claramente este conjunto não é munido da matriz nula .

já tentei fazer só que todas dão certo e a questão diz que não é espaço vetorial.
u=(x',y',z') e v=(x,y,z)
01 k(u+v) = ku+kv
k(x+x',y+y',z+z') = (kx,y,z) + (kx',y',z')
(k(x+x'),y+y',z+z') = (kx+kx',y+y',z+z')->(k(x+x'),y,z)
02
(k+l)v = kv+kl
k+l(x,y,z) = (kx,y,z) + (lx,y,z)
(k+l(x),y,z) = (kx,y,z)+(lx,y,z)->(k+l(x),2y,2z)
,

por **e8group** » Qui Nov 06, 2014 22:54

Note que pela definição multiplicação por escalar , temos , [ a +b] (x,y,z) = ([a+b] x, y ,c )

para quaisquer escalares a,b e vetor v=(x,y,z) pertence ao R^3 . Por outro lado ,

a (x,y,z) + b(x,y,z) = (ax,y,z) + (bx,y,z) = (ax + bx , y+ y , z+ z ) = ([a+b]x ,2x ,2z)

.

Segue daí que em geral $[a +b] v \neq av + bv$ , ocorrendo a igualdade iff y=z= 0 .

por **nandooliver008** » Seg Nov 10, 2014 10:59

santhiago escreveu:Note que pela definição multiplicação por escalar , temos , para quaisquer escalares a,b e vetor v=(x,y,z) pertence ao R^3 . Por outro lado ,

.

Segue daí que em geral $[a +b] v \neq av + bv$ , ocorrendo a igualdade iff y=z= 0 .

vlw cara, e muito obriga pela ajuda.

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