[Algebra Linear] Soma de subespaços

por **pedro_kampos** » Dom Ago 03, 2014 20:19

Pessoal tou com uma grande dúvida nessa questão, fiz até uma resolução mas não consigo achar a resposta certa

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Minha Humilde tentativa:

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por **adauto martins** » Seg Nov 10, 2014 16:02

1)

2x-y+z-w=0,
x+2y+z+2w=0...escalonando...
2x-y+z-w=0,(3/2)y+(1/2)z+(3/2)w=0

$\Rightarrow y=-(z/3)z-w,...x=-z-3w,faz-se z=\alpha,e w=\beta... {U}_{1}=((x,y,z,w)\in{\Re}^{4}/\alpha(-2/3,-1/3,1,0)+\beta(0,-1,0,1),\alpha\in\Re,\beta\in\Re$ )
2) x+7y+z+w=0,
x-y-z-3w=0...

...escalonando ...
$x+7y+z+w=0, -8y-3z-10w=0...resolvendo o sistema teremos: [tex]{U}_{2}=((x,y,z,w)/\alpha(-5/8,-3/8,1,0)+\beta(0,-1/2,0,1))$ ...
((-2/3,-1/3,1,0),(0,-1,0,1),(-5/8,-1/2,1,0),(0,-1/2,0,1))formam um conj. gerador de ${U}_{1}+{U}_{2}$ ...vamos buscar uma base L.I desse espaço gerado pelos vetores de ${U}_{1}+{U}_{2}$ ...
seja a matriz:
$\begin{pmatrix} -2/3 & -1/3 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -5/8 & -3/8 & 1 & 0 \\ 0 & -1/2 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
diagonizando e triangulando superiormente a matriz teremos:
$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & -3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 15/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ ,logo o conj.de vetores geradores ((1,1/2,-3/2,0),(0,1,15/2,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) e LI e forma uma base para ${U}_{1}+{U}_{2}$ ...logo das respostas ,a q. mais tem a ver com a soluçao,e a letra B)a base canonica do ${\Re}^{4}$
obs.:costumo errar em contas numericas,entao seria bom fazer os calculos,mas o raciocinio e esse...

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