Produto Interno Usual

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Produto Interno Usual

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Produto Interno Usual

Mensagempor iarapassos » Qui Mar 21, 2013 00:04

Determine os valores a,b e c de modo que o conjunto
B={(1,-3,2),(2,2,2),(a,b,c)} seja uma base ortogonal do R³ em relação
ao produto interno usual.

Me ajudem!
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Re: Produto Interno Usual

Mensagempor Ge_dutra » Qui Mar 21, 2013 00:46

Você pode fazer o produto vetorial do vetor (1,-3,2) com o vetor (2,2,2), pois o vetor que terá como resultado será simultaneamente ortogonal a esses dois. Daí é só igualar a (a,b,c) e achar os valores.
Para conferir o resultado faça o produto interno usual e veja se vai dar zero.
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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