[Subespaço R^4]Vetores LD

por **guisaulo** » Qui Nov 29, 2012 12:36

Seja W o subespaço de R^4

gerado pelos vetores:

${V}_{1}=(1,2,0,1),\: {V}_{2}=(0,1,1,-1),\:{V}_{3}=(2,6,2,0),\:{V}_{4}=(-1,1,3,-4).$

a) Mostre que os vetores ${V}_{1},\: {V}_{2},\:{V}_{3}\:e\:{V}_{4}$ são linearmente dependentes.

Até onde cheguei:

Bastaria mostrar que o determinante desses vetores deve ser igual a zero.

Porém, preciso saber quais vetores são combinação linear dentre eles para descarta-los e encontrar a base e dimensão de W.(letra b)

Para isso, fiz o escalonamento e encontrei o seguinte resultado (-2z+w, -2z-3w, z, w) sendo que z e w são variáveis livres.

Resolvendo a equação obtive $-2z+w {V}_{1}-2z-3w {V}_{2}+ z {V}_{3}+w {V}_{4}$

Neste caso, não consegui desenvolver a equação para encontrar quais dos vetores pode ser escrito com combinação linear dos outros.

Pode ser que errei alguma conta, mas não sei como fazer o exercício a partir desse ponto.

por **MarceloFantini** » Sex Nov 30, 2012 00:13

Ao invés do determinante, eu calcularia $\sum_{i=1}^{4} \alpha_i V_i = 0$ , onde $\alpha_i$ são constantes. Como o conjunto tem que ser linearmente dependente, isto significa que pelo menos uma dessas constantes é não-nula, logo o conjunto é linearmente dependente.

Não existe um vetor particular que é combinação linear dos outros. Retire um e veja o que acontece com o conjunto restante. Julgando pelas coordenadas, eu diria que V_4

é combinação linear das outras, pelo menos é o que mais parece.

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Re: [Subespaço R^4]Vetores LD

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