[Álgebra Linear II] Resolução de Exercícios

por **m0x0** » Sáb Jul 21, 2012 18:47

Boa noite a todos,

Gostaria de saber, se possível, se estes exercícios que resolvi e entreguei a uma professora minha, merecem a nota que ela me deu.

Resolvi os exercícios com um colega meu e ele acabou por ter 16 valores e eu apenas tive 5 valores.

Não acho justo que, alguns professores, seja por falta de carácter, seja por terem embirrado connosco, nos possam dar uma nota destas.

Peço que apenas me digam se realmente a resolução destes exercícios merece a nota de 5 valores, porque tenho a noção do que fiz, e não penso que mereça menos de 12 ou 13 valores.

O comentário da professora foi o seguinte: "Infelizmente o seu trabalho não chega para passar. Com um trabalho de avaliação feito em casa, não se compreende que tenha errado nas definições."

Cada alínea vale 3 valores, excepto a 2 a), que vale 2 valores.

Obrigado.

http://imageshack.us/photo/my-images/843/99832567.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/821/20324985.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/411/32557063.jpg/
http://imageshack.us/photo/my-images/694/73911528.jpg/

por **MarceloFantini** » Dom Jul 22, 2012 03:27

M0x0,seguindo as regras do fórum, por favor digite todos os enunciados e suas respectivas resoluções.

por **m0x0** » Dom Jul 22, 2012 16:06

O Enunciado é:

1. Seja ${V}_{k}$ um Espaço Vectorial e sejam ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ , ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ e u vectores de ${V}_{k}$ .

a) Provar que se u? < ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ > e ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ ? < ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ > então u ? < ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ >.

b) Se o sistema ( ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ , ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ ) é linearmente independente, o mesmo acontece com o sistema ( ${v}_{2}$ , ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ ).

2. Sejam F e G subespaços vectoriais de um espaço vectorial ${V}_{k}$ , provar que:

a) 0?F.

b) F?G é um subespaço vectorial de ${V}_{k}$ .

3. Sejam ${V}_{k}$ e ${U}_{k}$ espaços vectoriais sobre o corpo K e ?:V?U uma aplicação linear. Mostrar que:

a) Se ( ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ ) é um sistema de vectores linearmente dependente, então o mesmo acontece com o sistema (?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )).

b) Se F=< ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ >, então ?(F)=<?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )>.

c) Se ( ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ ) é uma base de F e ? é injectiva, então (?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )) é uma base de ?(F).

A minha resolução está feita nas imagens que fiz no primeiro post. Se for necessário eu faço aqui no latex.

Obrigado!

por **MarceloFantini** » Dom Jul 22, 2012 16:12

Por favor, escreva também suas resoluções. Facilita a busca no fórum depois.

por **m0x0** » Dom Jul 22, 2012 20:15

Aqui vai a resolução do 1. a) e vou postar as outras:

1.
a) Sejam ?,?, ${x}_{1}$ , ${x}_{2}$ , ${y}_{1}$ , ${y}_{2}$ , ${z}_{1}$ e ${z}_{2}$ ?K
E u ? < ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ >
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de ${v}_{1}$ e ${v}_{2}$ tal que: u=? ${v}_{1}$ +? ${v}_{2}$
Analogamente, como ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ ? < ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ >
Então existe pelo menos uma combinação linear de vectores de ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ e ${w}_{3}$ tal que:
${v}_{1}$ = ${x}_{1}$ ${w}_{1}$ + ${y}_{1}$ ${w}_{2}$ + ${z}_{1}$ ${w}_{3}$
${v}_{2}$ = ${x}_{2}$ ${w}_{1}$ + ${y}_{2}$ ${w}_{2}$ + ${z}_{2}$ ${w}_{3}$
Logo
u=? ${v}_{1}$ +? ${v}_{2}$ =?( ${x}_{1}$ ${w}_{1}$ + ${y}_{1}$ ${w}_{2}$ + ${z}_{1}$ ${w}_{3}$ )+?( ${x}_{2}$ ${w}_{1}$ + ${y}_{2}$ ${w}_{2}$ + ${z}_{2}$ ${w}_{3}$ )
Pondo em evidência ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ e ${w}_{3}$ obtemos:
u= ${w}_{1}$ (? ${x}_{1}$ +? ${x}_{2}$ )+ ${w}_{2}$ (? ${y}_{1}$ +? ${y}_{2}$ )+ ${w}_{3}$ (? ${z}_{1}$ +? ${z}_{2}$ )
Como ?,?, ${x}_{1}$ , ${x}_{2}$ , ${y}_{1}$ , ${y}_{2}$ , ${z}_{1}$ e ${z}_{2}$ ? K, logo:
${T}_{1}$ =? ${x}_{1}$ +? ${x}_{2}$ ? K
${T}_{2}$ =? ${y}_{1}$ +? ${y}_{2}$ ? K
${T}_{3}$ =? ${z}_{1}$ +? ${z}_{2}$ ? K
E então u= ${T}_{1}$ ${w}_{1}$ + ${T}_{2}$ ${w}_{2}$ + ${T}_{3}$ ${w}_{3}$
Logo u ? < ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ >

por **m0x0** » Seg Jul 23, 2012 15:20

1.
b) Sendo ${x}_{1}$ , ${x}_{2}$ , ${x}_{3}$ , ${x}_{4}$ e ${x}_{5}$ ? K.
E como ( ${v}_{1}$ , ${v}_{2}$ , ${w}_{1}$ , ${w}_{2}$ , ${w}_{3}$ ) é linearmente independente, por hipótese, isto quer dizer que:
${x}_{1}{v}_{1}$ + ${x}_{2}{v}_{2}$ + ${x}_{3}{w}_{1}$ + ${x}_{4}{w}_{2}$ + ${x}_{5}{w}_{3}=0$
E que ${x}_{1}= {x}_{2}={x}_{3}={x}_{4}={x}_{5}=0$ , ou seja, que a única combinação linear é a trivial.
Então:
$0{v}_{1}+{x}_{2}{v}_{2}+{x}_{3}{w}_{1}+x}_{4}{w}_{2}+0{w}_{3}=0$ <=>
<=> ${x}_{2}{v}_{2}+{x}_{3}{w}_{1}+x}_{4}{w}_{2}=0$ também é linearmente independente.

por **m0x0** » Seg Jul 23, 2012 15:29

2.
a) Como ${V}_{k}$ é um espaço vectorial, por hipótese, então ${V}_{k}$ ?0 porque vai conter pelo menos o elemento nulo ${0}_{V}$ .
Como F? ${V}_{k}$ então F?0 porque contém, pelo menos, um vector v?F tal que:
$\alpha$ v?F?V, ${\forall}_{\alpha}$ ?K
Em particular, fazendo v=0, temos que:
?0?F=>0?F

b) Sendo x,y ? (F?G) e ?,? ? K
Logo x,y ? F e também x,y ? G
Como, por hipótese, temos que F,G? ${V}_{k}$ , então:
(?x+?y) ? F? ${V}_{k}$ e também (?x+?y) ? G? ${V}_{k}$
Então:
(?x+?y) ? (F?G)? ${V}_{k}$

por **m0x0** » Seg Jul 23, 2012 15:50

3.
a) Como, por hipótese, ( ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ ) é linearmente dependente,
Então ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ =0 não é a única combinação linear, ou seja, existe pelo menos mais uma combinação linear que não seja a trivial, ${\forall}_{x}$ ?K.
Como ? é uma aplicação linear, então:
${x}_{1}$ ?( ${v}_{1}$ )+?+ ${x}_{p}$ ?( ${v}_{p}$ )=0
?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ )+?+( ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )=0
?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )=0
Como a aplicação linear perserva sempre o vector nulo, temos que:
?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )=0 sse ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +...+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ =0
E como é linearmente dependente, existe pelo menos uma combinação linear nula que não seja a trivial, portanto (?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )) também é linearmente dependente.

b) Como F=< ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ > então ${\exists}_{x}$ ?F tal que:
x= ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$
Como ?(F)=<?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )>, então ${\exists}_{y}$ ??(F) tal que:
y= ${x}_{1}$ ?( ${v}_{1}$ ),…, ${x}_{p}$ ?( ${v}_{p}$ )
Então y??(F) sse y=?(x), com x?F.
Como ?(x)=?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ ) e ? é uma aplicação linear, então:
?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )=?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ )+?+?( ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )= ${x}_{1}$ ?( ${v}_{1}$ )+?+ ${x}_{p}$ ?( ${v}_{p}$ )
Ou seja, qualquer vector de ?(F) pode ser escrito como combinação linear dos vectores (?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ ))

c) Sendo, por hipótese, ( ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ ) uma base de F, então:
F=< ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ > e ( ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ ) é linearmente independente.
Logo, ${\exists}_{x}$ ?F tal que:
x= ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ =0 é a única combinação linear – a trivial – porque ( ${v}_{1}$ ,…, ${v}_{p}$ ) é linearmente independente.
Sendo ? injectiva, temos que a objectos distintos, correspondem imagens distintas, ou seja:
Se ${v}_{1}$ ??? ${v}_{p}$ então ?( ${v}_{1}$ )????( ${v}_{p}$ )
Seja então y= ?(F), então y= ?(x), com x?F.
Então y=?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ ) e como ? é uma aplicação linear, logo:
y=?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )= ?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ )+?+?( ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )= ${x}_{1}$ ?( ${v}_{1}$ )+?+ ${x}_{p}$ ?( ${v}_{p}$ )
Portanto ?(F)=<?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )>
Como x= ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ =0 é linearmente independente, então:
${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ =0 sse ${x}_{1}$ =?= ${x}_{p}$ =v
Logo:
${x}_{1}$ ?( ${v}_{1}$ )+?+ ${x}_{p}$ ?( ${v}_{p}$ )=0
E como ? é uma aplicação linear:
?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ )+?+?( ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )=0
?( ${x}_{1}$ ${v}_{1}$ +?+ ${x}_{p}$ ${v}_{p}$ )=0
Logo (?( ${v}_{1}$ ),…,?( ${v}_{p}$ )) é uma base de ?(F)

por **MarceloFantini** » Ter Jul 24, 2012 00:31

Vamos lá. Primeiramente, dada uma base, todo vetor é combinação única da base. Para ver isso, suponha que $x= \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = \beta_1 u_1 + \beta_2 u_2$ , com $\alpha_1 \neq \beta_1 \text{ e } \alpha_2 \neq \beta_2$ . Então $(\alpha_1 -\beta_1) u_1 + (\alpha_2 - \beta_2) u_2 = 0$ mas os coeficientes são não-nulos e assim $\{ u_1, u_2 \}$ não seria base.

1)a) Seja $u \in \langle v_1, v_2 \rangle$ . Então existem coeficientes $\alpha_i, i=1,2$ tais que $u = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2$ . Como $v_1,v_2 \in \langle w_1, w_2,w_3 \rangle$ , então $v_1 = \sum_{i=1}^3 \beta_i w_i \text{ e } v_2 = \sum_{j=1}^3 \gamma_j w_j$ . Mas daí

$u = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = \alpha_1 \left( \sum_{i=1}^3 \beta_i w_i \right) + \alpha_2 \left( \sum_{i=j}^3 \gamma_j w_j \right)$
$= \sum_{i=1}^3 (\alpha_1 \beta_i + \alpha_2 \gamma_i) w_i$ ,

mostrando que $u \in \langle w_1, w_2, w_3 \rangle$ .

1)b) Como $\{ v_1, v_2, w_1, w_2, w_3 \}$ é linearmente independente, então vale a condição
$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 w_1 + \alpha_4 w_2 + \alpha_5 w_3 = 0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=1,\ldots,5.$

Em particular, $\alpha_2 v_2 + \alpha_3 w_1 + \alpha_4 w_2 = 0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=2,3,4.$

2)a) Você errou logo no começo. Se V_k = 0

então

também é um espaço vetorial, cujo único elemento é o elemento neutro. Se F,G

são subspaços vetoriais de V_k

, então toda combinação linear de elementos de F,G

permanecem nos respectivos espaços. Isto inclui a combinação nula, logo $0 \in F,G$ .

2)b) Como fez está correto.

3)a) Se os vetores $\{ v_1, \ldots, v_p \}$ são linearmente dependentes, então existem constantes $\alpha_i, \quad i=1,\ldots,p,$ nem todas nulas, tais que $\sum_{i =1}^p \alpha_i v_i = 0$ . Usando a aplicação linear nesta combinação, temos

$\gamma \left( \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i \right) = 0 \implies \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma (v_i) =0$ ,

ou seja, existe uma combinação linear dos vetores $\{ \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \}$ igual a zero sendo que nem todos os coeficientes são nulos, portanto é linearmente dependente.

3)b) Seja $v \in F$ , então $v = \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i$ . Daí,

$\gamma(v) = \gamma \left( \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma(v_i)$

e assim $\gamma(v) \in \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle \subset \gamma(F)$ . Como $\gamma(F) \subset \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle$ , segue $\gamma (F) = \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle$ .

Seu erro neste item foi justamente assumir que $\gamma(F) = \langle \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \rangle$ . É isto que você quer provar, é sua tese, não sua hipótese. Afirmando esta igualdade, não há nada para provar; se é o espaço gerado, é óbvio que qualquer vetor é escrito como combinação linear destes.

3)c) Seja $v \in \langle v_1, \ldots, v_p \rangle$ com $v = \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i$ . Temos que

$v= 0 \iff \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i = 0 \iff \alpha_i =0, \quad i=1,\ldots,p.$

Como a aplicação linear $\gamma$ é injetiva, então segue que $\gamma(u) = 0 \iff u = 0$ . Aplicando nesta combinação, temos

$\gamma(v) = \gamma \left( \sum_{i=1}^p \alpha_i v_i \right) = \sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma(v_i) = \gamma(0) = 0$ .

Pela injetividade, sabemos que $\gamma(v) = 0 \iff v=0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=1,\ldots,p,$ e disso $\sum_{i=1}^p \alpha_i \gamma(v_i) = 0 \iff \alpha_i = 0, \quad i=1,\ldots,p,$ mostrando que o conjunto de vetores $\{ \gamma(v_1), \ldots, \gamma(v_p) \}$ é linearmente independente, portanto uma base de $\gamma(F)$ .

por **m0x0** » Ter Jul 24, 2012 08:31

Bom dia,

MarceloFantini, se fosses professor e olhando para as minhas resoluções, achas que mereço a nota de 5 valores? Tenho a noção que há alguns erros mas mesmo assim...

Todas as alinhas valem 3 valores, excepto a 2. a), que vale 2 valores.

Ainda por mais, não faltei a uma única aula, entreguei todos os trabalhos que a professora enviou para casa (que nunca chegou a corrigir nem a falar deles) e era suposto trata-se de avaliação contínua.

Obrigado!