[Sistemas LD e LI]- Relação com determinantes

por **Ana_Rodrigues** » Seg Abr 30, 2012 15:35

Quando eu estudava Álgebra Linear eu não entendi uma explicação referente a afirmação de que se o detA=0 então os vetores formam um sistema LD se for diferente de zero formam um sistema LI

então eu deduzi o seguinte

A matriz A é a matriz coeficiente AX=0

Se quando através de operações elementares eu reduzir a matriz A a forma escada e obter B e a última linha da matriz for nula por exemplo(uma das propriedade de uma matriz com det=0), e depois for resolver o sistema BX=0, vai dar um sistema indeterminado.

Portanto o sistema será linearmente dependente LD

Meu raciocínio está correto?

por **MarceloFantini** » Sáb Mai 05, 2012 21:09

Uma afirmação falsa que fez é que ter uma linha ou coluna nula é propriedade de matrizes com determinante zero. Note que $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ não tem nenhuma linha ou coluna nula, contudo seu determinante é nulo.

A propriedade a qual você se refere é que se uma linha ou mais for combinação linear de outras, então o determinante é nulo. Pensando como sistema de equações, isto equivale a dizer que através de algumas equações é possível anular as outras, portanto o sistema será indeterminado (linearmente dependente).

É interessante analisar isso geometricamente: pensando em três dimensões, teremos

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ .

Ao montar o sistema, veremos que cada equação representa um plano onde os vetores normais tem coordenadas iguais aos coeficientes. Quando o sistema for linearmente independente, isto significa que os três planos tem interseção igual a um único ponto, enquanto que linearmente dependente pode dizer que não há interseção (pelo menos dois são paralelos) ou a interseção é uma reta.

por **Ana_Rodrigues** » Qua Mai 09, 2012 17:32

Marcelo,

Eu considerei uma matriz com a última linha nula, foi um exemplo, e eu disse que ter uma linha nula era UMA das propriedades, obviamente existem outras propriedades como a citada por você, pois ter uma linha nula significa dizer que esta linha é combinação linear das demais.

Obrigada!