Álgebra Linear II - Autovalores e Autovetores

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Álgebra Linear II - Autovalores e Autovetores

Mensagempor Cleyson007 » Qua Nov 09, 2011 08:56

Bom dia a todos!

Determinar os autovalores de A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} e seus respectivos autovetores associados.

Se puder detalhar o máximo a resolução ajudará bastante.

Até logo.
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Re: Álgebra Linear II - Autovalores e Autovetores

Mensagempor MarceloFantini » Qua Nov 09, 2011 17:33

Não há segredo. Os passos são:

1) Resolva a equação \det (A - \lambda I) = 0, onde I é a identidade.

2) Encontre as raízes da equação. Estes são os autovalores.

3) Resolva o sistema A \vec{x} = \lambda \vec{x} e encontre a forma dos vetores. Estes são os autovetores.

Neste caso, teremos \det (A - \lambda I) = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) -2 = 0

Os autovalores serão \lambda_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} e \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{17}}{2}. Agora resolva os sistemas A \vec{x} = \lambda_1 \vec{x} e A \vec{x} = \lambda_2 \vec{x}.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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