Série geométrica

por **lucasguilherme2** » Seg Ago 13, 2012 23:05

Boa noite pessoal. Estou revendo alguns conceitos de séries geométricas. No seguinte exercício é pedido para que se determine o termo inicial "a" e a razão "r", com isso determinar se a série geométrica converge ou diverge:

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{{3}^{k-1}}{{4}^{k+1}}$

Estou com dúvidas em como solucionar ou tratar os expoentes. Se poderem me ajudar, serei grato.

Grande abraço!

Ass.: Lucas Guilherme

por **Russman** » Ter Ago 14, 2012 00:09

Note que

$\frac{3^{k-1}}{4^{k+1}} = \frac{3^k.\frac{1}{3}}{4^k.4}=\frac{1}{12}\left ( \frac{3}{4} \right )^k$ .

Assim,

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{3^{k-1}}{4^{k+1}} = \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{12} \left ( \frac{3}{4} \right )^k$ .

O termo geral $\frac{1}{12} \left ( \frac{3}{4} \right )^k = \frac{1}{12}\frac{3}{4}\left ( \frac{3}{4} \right )^{k-1}=\frac{1}{16}\left ( \frac{3}{4} \right )^{k-1}$ é característico de uma P.G. de primeiro termo $\frac{1}{16}$ e razão $\frac{3}{4}< 1$ . Assim, dos infinitos termos converge para

$\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{12} \left ( \frac{3}{4} \right )^k = \frac{\frac{1}{16}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{16}.4.\frac{1}{1} = \frac{1}{4}$ .

Lembre-se que

$\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{N }a_1.q^{k-1} = \frac{a_1}{1-q}$

se $\left | q \right | < 1$ .

por **lucasguilherme2** » Ter Ago 14, 2012 00:30

Nossa, obrigado mesmo

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