Somatório

por **ARCS** » Sáb Mar 12, 2011 01:51

Como demonstrar por indução matemática que
$\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

por **MarceloFantini** » Sáb Mar 12, 2011 02:19

Você chegou a ver algum exemplo ou exercício resolvido de indução? Tem idéia de por onde começar?

por **Abelardo** » Sáb Mar 12, 2011 03:11

Primeiro, tens que ''testar'' para n=1. Deves criar uma ''hipótese de indução'' com n=k

(essa incógnita é a mais comum), por último, tens que demonstrar, algebricamente, que a fórmula $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ vale para (k + 1)

.

Como estou no ensino médio, só tive acesso a esse assunto de indução no livro 1 da coleção fundamentos da matemática elementar e no livro de aritmética de José Admo Lacerda. Existe um livrinho que trata melhor desse assunto, ''Manual de Indução Matemática - Luís Lopes'' que é muito bom para que nunca viu nada sobre o assunto.

por **Renato_RJ** » Sáb Mar 12, 2011 03:14

Caro Arcs, essa é a soma de uma PA com elemento inicial 1 e razão 1, vejamos:

$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

Fazemos um teste usando o menor valor possível para n, no caso o 1:

$n = 1 \Rightarrow \, \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1$

Agora façamos para n = k :

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k \cdot (k + 1)}{2}$

Agora façamos para n = k + 1:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1)= \frac{ (k + 1) \cdot (k + 2)}{2}$

Como $1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k \cdot (k + 1)}{2}$ podemos fazer uma substituição no lado esquerdo da igualdade, logo teremos:

$\frac{k \cdot (k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{(k + 1) \cdot (k + 2)}{2}$

Resolvendo a soma do lado esquerdo, teremos:

$\frac {k \cdot (k + 1) + 2 \cdot (k + 1)}{2} \Rightarrow \, \frac {k^2 + k + 2k + 2}{2} = \frac{(k + 1) \cdot (k + 2)}{2}$

Fechada a sua demonstração...

[ ]'s
Renato.

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