Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

por **fff** » Seg Jan 05, 2015 17:15

Mostre, partindo do desenvolvimento de g(x)=log(x+1), que:

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum (-1)^nx^{2n}$
com raio de convergência r=1.

Ps: Desenvolvimento de g(x)=log(x+1) -> $\sum \frac{{(-1)}^{n+1}{x}^{n}}{n}$

por **Russman** » Ter Jan 06, 2015 00:43

Acredito que haja algo errado na questão. Confira o enunciado.

por **fff** » Ter Jan 06, 2015 09:57

Talvez seja o desenvolvimento do g(x)=log(1+x), neste site diz que é $-\sum \frac{{(-1)}^{n}{x}^{n}}{n}$ , mas neste já diz outra coisa :(

por **Russman** » Ter Jan 06, 2015 18:50

Eu acreditava que o problema estava mais adiante. Mas, me enganei. Está correto.

De fato, a representação em série de potências das função $g(x) = \ln (x+1)$ é

$\ln (x+1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$

que é equivalente a $-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}x^n$ já que basta fatorar o número (-1)^1

do somatóro.

Fazendo isso, podemos trocar $x\rightarrow x^2$ na função e obter

$\ln(x^2+1)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{2n}$ .

Agora, derivando com relação a x em ambos os lados, temos

$\frac{2x}{1+x^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}2n.x^{2n-1}$

de onde, simplificando, obtemos

$\frac{x^2}{1+x^2} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n}$

Esta expressão parece correta. Eu tomei $x=\frac{1}{2}$ e somei parcialmente usando método computacional e obtive

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5E%28n%2B1%29+*+%281%2F2%29%5E%282n%29++from+n%3D1+to+n%3D10.

De fato,

$\frac{(1/2)^2}{1+(1/2)^2} = 1/5 = 0,2$ .

Ok!

Agora, se transferirmos o x^2

do numerador da função para a soma, temos

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n-2} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2(n-1)}$ .

Agora, trocando $n-1 \rightarrow n \Rightarrow n \rightarrow n+1$ , finalmente

$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}$

Eu faria assim.