Piso de um número

por **anfran1** » Sex Jun 29, 2012 13:27

Dado um numero real x, o piso $\dagger x\dagger$ de x é definido como o maior número inteiro $\dagger x\dagger$ que é menor ou igual a x.
Por exemplo $\dagger 5,2\dagger=5$ ; $\dagger \pi\dagger=3$ ; $\dagger 2\dagger=2$ .
Qual o valor da soma $\dagger1\dagger +\dagger\sqrt[2]{2}\dagger + \dagger\sqrt[2]{3}\dagger+...+\dagger\sqrt[2]{200}\dagger$ ?

No começo eu fui somando os valores facilmente mas então percebi que perderia muito tempo já que esta questão caiu nas olímpiadas aqui da minha região. Como faço para resolvê-la?

por **MarceloFantini** » Seg Jul 02, 2012 23:49

Perceba que sempre teremos que $\lfloor \sqrt{n^2} \rfloor$ será sempre

até chegarmos em (n+1)^2

. Então, por exemplo $\lfloor \sqrt{16} \rfloor + \lfloor \sqrt{17} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{24} \rfloor = 4 + 4 + \ldots + 4 = 4 \cdot 9 = 36$ . Tente aplicar o mesmo raciocínio para outros intervalos. Existe uma forma de generalizar para os intervalos, procure.

por **anfran1** » Dom Jul 08, 2012 10:52

MarceloFantini escreveu:Perceba que sempre teremos que $\lfloor \sqrt{n^2} \rfloor$ será sempre até chegarmos em . Então, por exemplo $\lfloor \sqrt{16} \rfloor + \lfloor \sqrt{17} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{24} \rfloor = 4 + 4 + \ldots + 4 = 4 \cdot 9 = 36$ . Tente aplicar o mesmo raciocínio para outros intervalos. Existe uma forma de generalizar para os intervalos, procure.

Já entendi. Por exemplo quando chegarmos ao piso de $\sqrt[2]{25}$ basta irmos somando 5 até chegarmos no piso da $\sqrt[2]{36}$ e assim por diante.
Quanto à generalização tentei fazer por conta própria e percebi que de $\sqrt[2]{16}$ até $\sqrt[2]{24}$ há 9 números(chamemos esse 9 de ${x}_{1}$ ).
Entre $\sqrt[2]{25}$ até $\sqrt[2]{35}$ há 11 números (seja $11 = {x}_{2}$ , então ${x}_{2}={x}_{1}+2$ .
Entre $\sqrt[2]{36}$ até $\sqrt[2]{48}$ há 13 números ( ${x}_{3}={x}_{2}+ 2$ ). Então minha generalização é a seguinte : ${x}_{n}={x}_{n-1}+ 2$
Está correto?

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