[INTEGRAL INDEFINIDA] Duvida de integração

por **fabriel** » Qua Out 03, 2012 16:20

Bom amigos, surgiu ma dúvida aqui quando estava integrando essa integral:
$\int_{}^{}\frac{dx}{x^2+2x+5}$
E eu estava reescrevendo na forma:
$\int_{}^{} {x}^{-2}+\frac{{x}^{-1}}{2}+\frac{1}{5}dx$
Mas não tenho certeza se isso esta certo, se eu posso escreve-la assim, pois:
$\int_{}^{}\frac{{x}^{-1}}{2}dx$
Vai dar uma indeterminação do tipo 1/0, então pesso ajuda nisso ai...É o caminho certo, ou devo usar outros métodos, se devo usar então de que jeito??
obrigado!!
*-)

por **young_jedi** » Qua Out 03, 2012 16:34

voce não pode escrever da forma como colocou:

$\frac{1}{x^2+2x+5}=(x^2+2x+5)^{-1}$

isto é diferente do que voce colocou, voce não pode distribuir os expoentes na soma de termos

uma forma melhor de resolver seria

$\int\frac{dx}{x^2+2x+1+4}=\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}$

subsitituindo

x+1=2u

$\int\frac{2du}{4u^2+4}$

$\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}$

para esta ultima integral existe na tabela de integrais e esta relacionado ao arctang
é so pesquisar

por **MarceloFantini** » Qua Out 03, 2012 16:34

Você está cometendo um erro grave, note que $\frac{1}{x^2 +2x+5} \neq x^{-2} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{5}$ . Tome x=0

para ver, a primeira expressão resulta em $\frac{1}{5}$ enquanto que a outra nem está definida.

Assim como no outro tópico, escreva $x^2 +2x +5 = x^2 +2x +1 +4 = (x+1)^2 +4 = 4 \left( \frac{(x+1)^2}{4} +1 \right)$ e faça a substituição $u = \frac{x+1}{2}$ .