Assintota vertical e horizontal

por **Zercamga** » Seg Set 17, 2012 12:30

Por favor estou fazendo um trabalho e nao consigo fazer as assintos verticais e horizontais ,
como por exemplo as funcoes
y=5/x-3

y=3x+1/x-1

e fazer seus graficos respectivamentes , ficarei agradecido pela resposta!

por **Renato_RJ** » Ter Set 18, 2012 03:17

Boa noite campeão !!!

Uma dica, as raízes dos polinômios no denominador são ótimos indicativos de assíntotas verticais... E para saber as assíntotas horizontais, faça o limite quando x tende para $\pm \infty$ e veja se o limite te dará um número ou não (se der um número real, então essa é a sua assíntota)....

Tenta aí, qualquer problema posta para que possamos ajudá-lo...

[ ]'s
Renato.

por **Zercamga** » Ter Set 18, 2012 12:30

entao amigo esse é o problema eu tenho a minima ideia como se faz isso , e como fazer o grafico , alguem poderia postar para mim?

por **Alerecife** » Ter Set 18, 2012 12:41

a sua duvida esta me parecendo apenas na construção dos gráficos para essas funções, certo?
- pra isso vc tem que ter um software matemático - acessa o site http://www.wolframalpha.com/ e coloca a suas funções que vc vai ter a visualização gráfica dessas funções:

-- porem sugiro que vc comece a manipular softawares matemático como o graph e o geogebra - boa sorte!

por **Zercamga** » Ter Set 18, 2012 14:41

mais como fazer os calculo la mano? minha prova ta chegando e eu tenho que fazzer tudo os calculo e fazer o grafico

por **Renato_RJ** » Ter Set 18, 2012 14:46

Bem, se você deseja fazer os gráficos via computador, o colega acima deu as melhores dicas... Mas se o teu professor quer que você faça "na mão", então vou fazer um exemplo e você faz o resto, ok ?!

$y = \frac{5}{x-3}$

Repare que o domínio da função são os Reais menos o número 3, $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3\}$ (pois se colocarmos x = 3

o denominador vai a zero, e teremos $\frac{5}{0}$ , o que não é permitido), então sabemos que o 3 é uma assíntota vertical, agora vamos estudar o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita:

Aproximação pela esquerda:

$\lim_{x \rightarrow 3^-} \frac{5}{x-3} = - \infty$

Aproximação pela direita:

$\lim_{x \rightarrow 3^+} \frac{5}{x-3} = + \infty$

Agora sabemos que a função tende para $- \infty$ quando x se aproxima de 3 pelos valores a esquerda de 3 e $+ \infty$ quando x se aproxima de 3 com valores a direta de 3...

Agora vejamos as assíntotas horizontais:

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{5}{x-3} = 0$

$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{5}{x-3} = 0$

Isto quer dizer que o gráfico da função tende ao eixo x ( y = 0) quando x tende ao infinto (tanto positivo quanto negativo)...

Agora vamos analisar as concavidades e os pontos de inflexão do gráfico:

Concavidade:
Para sabermos a concavidade basta analisarmos o sinal da primeira derivada em determinados pontos:

y'(x) > 0

em $x = x_0 \Rightarrow$ a concavidade será para cima no ponto x_0

em $x = x_0 \Rightarrow$ a concavidade será para baixo no ponto x_0

Derivando $y = \frac{5}{x-3}$ temos $y'(x) = \frac{-5}{(x-3)^2}$

Como o denominador é um quadrado (x-3)^2

, então qualquer que seja o valor de x (desde que diferente de 3) o denominador será positivo, mas o numerador é negativo, logo $y'(x) < 0 \, \forall x \in \mathbb{R} - 3$ então a concavidade é para baixo.

Aqui não faz sentido em falar em pontos de inflexão, pois vimos que o sinal da primeira derivada não muda independente do valor de x, então temos o gráfico da seguinte maneira, x = 3 é sua assíntota, quando o "gráfico vem da esquerda" ele "vem por baixo do eixo x e decresce até $-\infty$ quando se aproxima do valor x = 3". Quando o "gráfico vem pela direita" ele "vem de $+ \infty$ quando se aproxima do valor x= 3 decresce até y = 0 (mas não o toca, pois é uma assíntota horizontal)".

O gráfico feito por computador é o muito aproximado do feito por esse método, veja:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%2F%28x-3%29

Espero ter ajudado,
[ ]'s
Renato.