Teorema de Stokes

por **DanielFerreira** » Dom Jul 01, 2012 12:07

danjr5 escreveu:Use o Teorema de Stokes para calcular $\int_{}^{}\int_{S}^{}rotF.dS$ , onde e S é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano

Tentei assim:
Calculei o rotacional e encontrei zero;

De acordo com a definição
$\int_{C}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{S}^{}rotF.dS$

C => intersecção entre as superfícies;
$z = \sqrt{3}$ , já que, $z \geq 0$

Parametrizando o cilindro:
x = cost

$z = \sqrt{3}$

Então,
$\sigma(t) = (cost, sent, \sqrt[]{3}), 0 \leq t \leq 2\pi$

$\sigma'(t) = (- sent, cost, 0)$

e,
$F(\sigma(t)) = (\sqrt[]{3}sent, \sqrt[]{3}cost, sent.cost)$

Daí,
$\int_{C}^{}F.dr = \int_{0}^{2\pi}F(\sigma(t)).\sigma'(t)dt$

$\int_{C}^{}F.dr = \int_{0}^{2\pi}(- \sqrt[]{3}.sen^2t + \sqrt[]{3}.cos^2t + 0) dt$

$\int_{C}^{}F.dr = \int_{0}^{2\pi}\sqrt[]{3}.cos^2tdt$

...

$\int_{C}^{}F.dr = \pi\sqrt[]{3}$

Segundo o gabarito do livro, a resposta correta é zero.

Onde estou errando?

Desde já agradeço.

Att,

Daniel F.

por **Renato_RJ** » Seg Jul 02, 2012 11:42

Campeão, se o rotacional é zero, então o resultado será zero, veja:

$\oint F dr = \int \int (rot F \cdot n) ds$

Acredito eu...

Abraços,
Renato.

por **Russman** » Seg Jul 02, 2012 18:58

Realmente, veja que

$\overrightarrow {\bigtriangledown } \times \overrightarrow{F}=\left (\frac{\partial }{\partial x}\widehat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\widehat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\widehat{k} \right )\times (yz\widehat{i} + xz\widehat{j} + xy\widehat{k})$
$\Rightarrow \overrightarrow {\bigtriangledown } \times \overrightarrow{F}=z\widehat{k}-y\widehat{j}-z\widehat{k}+x\widehat{i}+y\widehat{j}-x\widehat{i} = \overrightarrow{0}$ .

Portanto,

$\oint _{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\int \int_{S} \left (\overrightarrow {\bigtriangledown } \times \overrightarrow{F}\cdot \widehat{n} \right ) dS \equiv 0$ .

Mas, fazendo pela integral de linha, você desenvolveu certo, porém, na ultima passagem, o correto é integrar $\sqrt{3}cos(2t)$ de

$\pi$ que é zero!

Entende?

por **DanielFerreira** » Sex Jul 06, 2012 20:04

Russman,
corrija-me se estiver errado, por favor!

$0 \leq t \leq \pi$ pois está acima do plano

?!

por **MarceloFantini** » Sáb Jul 07, 2012 02:52

Não, o parâmetro deve variar entre 0 e $2 \pi$ , senão você pega apenas metade do cilindro. Aí sim $\int_0^{2 \pi} \sqrt{3} \cos (2t) \, \textrm{d}t = 0$ . Estar acima do plano

quer dizer $z \geq 0$ .