[Integrais] Demonstração

por **Henrique Bueno** » Qua Jun 20, 2012 16:37

O exercício é o seguinte:

Prove que
$\int\limits_{0}^{\pi}~cos^{2p+1}(x)dx=0$ com p pertencente a Z.
(sugestão: faça $x=\pi-u$ )

eu tentei usar a sugestão e cai na mesma coisa de antes porém na variável u. Tentei dizer que u=senx e encontrei a seguinte integral:

$\int\limits_{0}^{\pi}~(1-u^2)^pdu$

porém dai eu não consigo sair. Por favor, me ajudem!

por **Russman** » Qua Jun 20, 2012 21:29

A demonstração é relativamente simples. Veja que efetuando a mudança de variável temos

$\int_{0}^{\pi }(cos(x))^{2p+1}dx = \int_{u(0)}^{u(\pi )}(cos(\pi -u))^{2p+1}(-du)=-\int_{\pi }^{0}(cos(\pi-u ))^{2p+1}du$ .

Agora utilizando a propriedade de inversão de limites de integração e o fato que

$cos(\pi -u) =cos(u-\pi )=-cos(u)$ , temos , portanto

$-\int_{\pi }^{0}(cos(\pi-u ))^{2p+1}du = \int_{0 }^{\pi}(cos(u-\pi ))^{2p+1}du = -\int_{0 }^{\pi}(cos(u))^{2p+1}du$ ,

uma vez que o sinal de menos sobrevive as potências ímpares.

Agora veja que, do início,

$\int_{0}^{\pi }(cos(x))^{2p+1}dx = -\int_{0 }^{\pi}(cos(u))^{2p+1}du$ .

Note que

e

são, nos processos de integração, variáveis "mudas", isto é, como efetua-se uma integração definida as variáveis, no resultado final, não aparecem explicitamente. Logo, podemos tomar x=u=t

. Assim,

$\int_{0}^{\pi }(cos(t))^{2p+1}dt = -\int_{0 }^{\pi}(cos(t))^{2p+1}dt\Rightarrow 2\int_{0 }^{\pi}(cos(t))^{2p+1}dt=0$ .

e, portanto,

$\int_{0 }^{\pi}(cos(t))^{2p+1}dt=0$

c.q.d

[Integrais] Demonstração

[Integrais] Demonstração

[Integrais] Demonstração

Re: [Integrais] Demonstração

Quem está online