[Limites em R2] duvida em exercício

por **inoj123** » Ter Jun 05, 2012 15:21

Boa tarde, sou novo neste fórum, por isso peço desculpa de estou a fazer algo de errado,

passo a especificar o exercício:

$f\left( x,y\right) =\frac{x-xe^{x^{3}y}}{x^{4}y}$

a solução desse limite, supostamente é -1, no entanto tentei ver o limite para algumas rectas...

para y=0, deu me uma indeterminação $\frac{0}{0}$
para y= ${x}^{\frac{1}{4}}$ e o resultado deu me 0, visto que a solução supostamente é -1 como deveria ter encarado este exercício?

Cumprimentos,
Jóni Silva.

por **LuizAquino** » Qua Jun 06, 2012 10:09

inoj123 escreveu:
passo a especificar o exercício:

$f\left( x,y\right) =\frac{x-xe^{x^{3}y}}{x^{4}y}$

a solução desse limite, supostamente é -1, no entanto tentei ver o limite para algumas rectas...

para y=0, deu me uma indeterminação $\frac{0}{0}$

para y= ${x}^{\frac{1}{4}}$ e o resultado deu me 0, visto que a solução supostamente é -1 como deveria ter encarado este exercício?

Você cometeu algum engano em suas contas.

Eu presumo que você deseja calcular o limite:

$\lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)} \frac{x-xe^{x^3y}}{x^4y}$

Considerando o caminho $y = x^{\frac{1}{4}}$ , quando $x\to 0$ temos que $y\to 0$ . Sendo assim, podemos reescrever o limite como sendo:

$\lim_{x\to 0} \frac{x-xe^{x^3x^{\frac{1}{4}}}}{x^4x^{\frac{1}{4}}} = \lim_{x\to 0} \frac{x\left(1-e^{x^3x^{\frac{1}{4}}}\right)}{x^4x^{\frac{1}{4}}}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{1-e^{x^3x^{\frac{1}{4}}}}{x^3x^{\frac{1}{4}}}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{1-e^{x^{\frac{13}{4}}}}{x^{\frac{13}{4}}}$

Fazendo a substituição $u = 1- e^{x^{\frac{13}{4}}}$ , quando $x\to 0$ temos que $u\to 0$ .

Além disso, temos que $x^{\frac{13}{4}} = \ln(1 - u)$ . Desse modo, temos que:

$\lim_{x\to 0} \frac{1-e^{x^{\frac{13}{4}}}}{x^{\frac{13}{4}}} = \lim_{u\to 0} \frac{u}{\ln(1-u)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{u:u}{[\ln(1-u)]:u}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{1}{\frac{1}{u}\ln(1-u)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{1}{\ln(1-u)^\frac{1}{u}}$

Lembrando que $\lim_{x\to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ , podemos obter que:

$= \frac{1}{\ln e^{-1}}$

$= \frac{1}{ - \ln e}$

= -1