derivar função com módulo

por **amanda costa** » Sex Jun 01, 2012 01:10

Teve uma questão na minha prova de cálculo hoje que gostaria de saber qual é a resposta certa

Na função $f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|$ era pra mostrar se existia f'(0)

eu calculei e deu -2, mas acho que está errada. Se alguém puder me mostrar como resolve eu agradeço.

por **Russman** » Sex Jun 01, 2012 01:46

O limite da derivada quando x tente a 0 pela esqerda é 2 e pela direita é -2. Logo, não existe o limite bilateral. Assim, a derivada não existe.

Desenvolvendo direitinho, eu sugiro que você tome a função definida para os reais positivos e negativos. Derive e então estude os limites para x tendendo a 0 pela direita e pela esquerda! Isto é,

$f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|=\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x &,x>0 \\ -x^{2}+2x&,x<0 \end{matrix}\right.\Rightarrow f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2x-2 &, x>0 \\ -2x+2&,x<0 \end{matrix}\right.$

Assim,

$\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(2x-2)=-2$

e

$\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(-2x+2)=2$

Como você vê o limite bilateral

,

$L=\lim_{x\rightarrow 0 }f'(x)$ ,

não existe. Assim, não existe a derivada dessa função em x=0

.

Sinto muito.

por **Francisco de Brito** » Sex Jun 01, 2012 11:02

Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)
existem e são iguais neste ponto.

Só pra ter u,a noção melhor ainda do assunto .....

por **Francisco de Brito** » Sex Jun 01, 2012 11:03

Russman escreveu:O limite da derivada quando x tente a 0 pela esqerda é 2 e pela direita é -2. Logo, não existe o limite bilateral. Assim, a derivada não existe.

Desenvolvendo direitinho, eu sugiro que você tome a função definida para os reais positivos e negativos. Derive e então estude os limites para x tendendo a 0 pela direita e pela esquerda! Isto é,

$f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|=\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x &,x>0 \\ -x^{2}+2x&,x<0 \end{matrix}\right.\Rightarrow f'(x)=\left\{\begin{matrix} 2x-2 &, x>0 \\ -2x+2&,x<0 \end{matrix}\right.$

Assim,

$\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(2x-2)=-2$

e

$\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(-2x+2)=2$

Como você vê o limite bilateral ,

$L=\lim_{x\rightarrow 0 }f'(x)$ ,

não existe. Assim, não existe a derivada dessa função em .

Sinto muito.