Problema de Minimização

por **ARCS** » Qui Mai 03, 2012 01:55

Na aula de Mecânica dos Sólidos o professor resolveu o seguinte exercício:

"Uma estaca cravada no solo( http://imageshack.us/photo/my-images/204/arlan.jpg/) é solicitada por dois trechos de Resultante de Forças Concorrentes corda. Impondo que a resultante das duas forças aplicadas à estaca seja vertical, determine:
a) O valor de alfa para o qual a intensidade de P seja mínima;
b) A correspondente intensidade de P."

Ele resolveu o item a usando a seguinte suposição :"Para que P seja mínima, é necessário que esta seja perpendicular a força de 120N. Com isso chegamos a conclusão que alfa = 65 graus ", e ele mostrou uma animação com Geogebra. Acontece que eu não fiquei conformado com essa resposta e tentei encontra uma uma função usando a lei dos senos e dos cossenos parar em seguida minimiza-la, mas não consegui.

grato desde já

por **LuizAquino** » Qui Mai 03, 2012 10:10

ARCS escreveu:Na aula de Mecânica dos Sólidos o professor resolveu o seguinte exercício:

"

Uma estaca cravada no solo é solicitada por dois trechos de Resultante de Forças Concorrentes corda. Impondo que a resultante das duas forças aplicadas à estaca seja vertical, determine:
a) O valor de alfa para o qual a intensidade de P seja mínima;
b) A correspondente intensidade de P."

Ele resolveu o item a usando a seguinte suposição :"Para que P seja mínima, é necessário que esta seja perpendicular a força de 120N. Com isso chegamos a conclusão que alfa = 65 graus ", e ele mostrou uma animação com Geogebra. Acontece que eu não fiquei conformado com essa resposta e tentei encontra uma uma função usando a lei dos senos e dos cossenos parar em seguida minimiza-la, mas não consegui.

Vamos fixar um sistema de eixos como ilustra a figura abaixo.

: figura1.png (41.91 KiB) Exibido 3230 vezes

Temos que:

$\vec{F} = 120(\cos 115^\circ,\, \,\textrm{sen}\, 115^\circ)$

$\vec{P} = r(\cos \beta,\, \,\textrm{sen}\, \beta)$

Deseja-se que $\vec{F} + \vec{P}$ seja vertical. Para que isso aconteça, devemos ter:

$120\cos 115^\circ + r\cos \beta = 0$

Desse modo, temos que:

$r = -\frac{120\cos 115^\circ}{\cos \beta}$

Notando que $\left\|\vec{P}\right\| = |r|$ , basta determinar $\beta$ de modo que |r| seja mínimo. Em seguida, note que $\alpha$ é o complementar de $\beta$ .